时钟的时针、分针和秒针重合问题

所谓时针的重合是指3针或2针都指向同一刻度，为了方便分析计尾不计头。先列出几个对以下分析比较重要的假设：1.时针分针的运动是连续的，可以使用连续函数的一些相关定理；2.秒钟的运动是跳跃性的，只能指向刻度，转一圈只能取1到60整数值。

问题1.时针和分针一天内重合几次？

时针从12点整转一圈到下个12点整一共是12个小时，这时分针转了12圈，所以他们的重合次数是12-1=11次，一天24小时即重合22次。

问题2.时针、分针、秒钟一天内全部重合几次？

方法一：时针分针12小时内重合11次，重合时间分别为720/11分,2*720/11,…，11*720/11，这11次重合时间只有11*720/11分=12小时是整数，且此时与秒针也重合，而其他时间是非整数，没有与秒针重合的可能。12小时3针重合1次，1天即重合2次。

方法二：时针和分针重合一次的时间为：60/(1- 1/12)=720/11分
分针和秒针重合一次的时间为：60/(60-1)=60/59分
现在再求这两个时间的最小公倍数，[720/11,60/59]=467280/649=720分=12时。即12小时3针重复1次，1天2次。

参考人教论坛http://bbs.pep.com.cn/viewthread.php?tid=457208&page=1#pid4538885