自顶向下的语法分析（修改）

自顶向下语法分析可以被看作是为输入串构造语法分析树的问题，它从语法分析树的根结点开始 ，按照先序遍历创建这棵语法分析树的各个结点。自顶向下语法分析也可以被看作寻找输入串的最左推导的过程。

递归下降的语法分析



一个递归下降语法分析程序由一组过程组成，每个非终结符号有一个对应的过程。程序的执行从开始符号对应的过程开始，如果这个过程的过程体扫描了整个输入串，它就停止执行并宣布语法分析成功完成。

一个左递归的文法会使它的递归下降语法分析器进入一个无限循环。即使是带回溯的语法分析器也是如此。也就说，当我们试图展开一个非终结符号A的时候，我们可能会没有读入任何输入符号就再次试图展开A。

FIRST和FOLLOW



自顶向下和自底向上语法分析器的构造可以使用和文法G相关的两个函数FIRST和FOLLOW来实现。在自顶向下语法分析过程中，FIRST和FOLLOW使得我们可以根据下一个输入符号来选择应用哪个产生式。在恐慌模式的错误恢复中，由FOLLOW产生的词法单元集合可以作为同步词法单元。

FIRST(α)被定义为可从α推导得到的串的首符号（终止符号）的集合，其中α是任意的文法符号串。

[b]计算各个文法符号X的FIRST(X)[/b]时，不断应用下列规则，直到再没有新的终结符号或ε可以被加到任何FIRST集合中为止。

1) 如果X是一个终结符号，那么FIRST(X) = X。

2) 如果X是一个非终结符号，且X ---> Y1Y2...Yk是一个产生式，其中k >= 1,那么如果对于某个i，a在FIRST(Yi)中且ε在所有的FIRST(Y1)、FIRST(Y2)、... 、FIRST(Yi-1)中，就把a加到FIRST(X)中。也就是说，Y1...Yi-1 ==>* ε。如果对于所有的j = 1， 2，... ，k，ε在FIRST(Yj)中，那么将ε加到FIRST(X)中。比如，FIRST(Y1)中的所有符号一定在FIRST(X)中。如果Y1不能推导出ε，那么我们就不会再向FIRST(X)中加入任何符号，但是如果Y1 ==>* ε，那么我们就加上FIRST(Y2)，依此类推。

3) 如果X ---> ε是一个产生式，那么将ε加入到FIRST(X)中。





对于非终结符号A，FOLLOW(A)被定义为可能在某些句型中紧跟在A右边的终结符号的集合。也就是说，如果存在形如S ---> αAaβ的推导，终结符号a就在FOLLOW(A)中，其中

α和β是文法符号串。注意，在这个推导的某个阶段，A和a之间可能存在一些文法符号。但如果是这样，这些符号会推导得到ε并消失。另外，如果A是某些句型的最右符号，那么$也在FOLLOW(A)中。（$是一个特殊的“结束标记”符号，我们假设它不是任何文法的符号）

计算所有非终结符号A的FOLLOW(A)集合时，不断应用下面的规则，直到再没有新的终结符号可以加到任意FOLLOW集合中为止。

1) 将$放到FOLLOW(S)中，其中S是开始符号，而$是输入右端的结束标记。

2) 如果存在一个产生式A ---> αBβ，那么FIRST(β)中除ε之外的所有符号都在FOLLOW(B)中。

3) 如果存在一个产生式A ---> αB，或存在产生式A ---> αBβ且FIRST(β)包含ε，那么FOLLOW(A)中的所有符号都在FOLLOW(B)中。





上面的计算方法理解起来比较费劲，我们来看下面的比较容易理解的方法：

FIRST集的定义:如果α是任意的文法符号串,则我们定义FIRST(α)是从α推导出的串的开始符号的终结符集合，即

FIRST(α)={a|α ==>* a… ,a是终结符}。如果α ==>* ε,则ε也属于FIRST(α)。

FOLLOW集的定义: 设A是一个非终结符,则定义FOLLOW(A)是包含所有在句型中紧跟在A后面的终结符a的集合，即FOLLOW(A)={a|S ==>* αAaβ , a是终结符}。注意，在推导的某一时刻，在A和a之间可能有符号，但如果是这样，它们将推导出ε并消失。如果A是某个句型的最右符号或开始符号，那么$属于FOLLOW(A)。(注: $是输入串的结束符)

例：求下列文法各个非终结符号的FIRST和FOLLOW集合。





解答：(注意==>*表示经过多次推导)

由于

E ==>* ( E ) T' E'

E ==>* id T' E'

故 FIRST(E) = { ( , id }

同理

FIRST(T) = FIRST(F) = { ( , id }

FIRST(E') = { + , ε}

FIRST(T') = { * , ε}

由于

E ==>* (E) 且E是开始符号

故FOLLOW(E) = { ) , $ }

由于

E ==> T E' ，即E' 是该句型的最右符号

E ==>* + ( E )

故FOLLOW(E') = { ) , $ }

由于

E ==>* T，即T是该句型的最右符号

E ==>* T + T

E ==>* ( T )

故 FOLLOW(T) = { ) , + , $ }

同理

FOLLOW(T') = { ) , + , $ }

FOLLOW(E') = { ) , + , $ }

FOLLOW(F) = { * , ) , + , $ }