Hdu1452 因子和的积性函数 以及积性函数的一些性质和举例

在非数论的领域，积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。　　

在数论中的积性函数：对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。

若对于某积性函数 f(n)，就算a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。[1]

s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

这在数论中叫积性函数，当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);

如果p是素数

s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1) (1)

例 hdu1452 Happy 2004

计算因子和 s(2004^X) mod 29 ,

2004=2^2 *3 *167

2004^X=4^X * 3^X *167^X

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(167^X)))

167%29=22

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(22^X)))

a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1) //根据（1）

b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2 //根据（1）

c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21 //根据（1）

%运算法则 1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p)

%运算法则 2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p) 除法的

s(2004^X)=（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2 *(22^(X+1)-1)/21

(a*b)/c %M= a%M* b%M * inv(c)

c*inv(c)=1 %M
模为1的所有数 inv（c）为最小可以被c整除的

inv(2)=15, inv(21)=18 2*15=1 mod 29, 18*21=1 mod 29

s(2004^X)=（（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2 *(22^(X+1)-1)/21）mod
29

=（（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)*15 *(22^(X+1)-1)*18）mod29

b^(-1)是 b的逆元素（%p）即上面的inv

2的逆元素是15 ，因为2*15=30 % 29=1 % 29

21的逆元素是18 ，因为21*18=378% 29 =1 % 29

因此

a=（powi(2,2*x+1,29)-1）% 29;

b=(powi(3,x+1,29)-1)*15 % 29;

c=(powi(22,x+1,29)-1)*18 % 29;

ans=（a*b）% 29*c % 29;

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cmath>  
  
using namespace std;  
  
int _pow( int a, int n )  
{  
    int b = 1;  
    while( n > 1 )  
        if( n % 2 == 0 )  
        {  
            a = ( a * a ) % 29;  
            n /= 2;  
        }  
        else  
        {  
            b = b * a % 29;  
            n--;  
        }  
        return a * b % 29;  
}  
int main()  
{  
    int X;  
    int a, b, c;  
    while( scanf("%d",&X), X )  
    {  
        a = _pow( 2, 2 * X + 1 );  
        b = _pow( 3, ( X + 1 ) );  
        c = _pow( 22, ( X + 1 ) );  
        printf("%d\n",( a - 1 ) * (( b - 1 ) * 15) * ( c - 1 ) * 18 % 29) ; 
    }  
    return 0;  
}

性质1

　　积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。

即是说，若将n表示成质因子分解式

则有

性质2

若f为积性函数且有

则f为完全积性函数。

积性

　　φ(n)
－欧拉函数，计算与n互质的正整数之数目

　　μ(n)
－莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目

　　gcd(n,k)－最大公因子，当k固定的情况

　　d(n)
－n的正因子数目

　　σ(n)
－n的所有正因子之和

　　σk(n)－因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。

　　1(n)
－不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）

　　Id(n)－单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）

　　Idk(n)－幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k（完全积性）

　　ε(n)
－定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）

　　λ(n)
－刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目

　　γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目

另外，所有狄利克雷特征均是完全积性的[1]

非积性

　　冯·曼戈尔特函数：当n是质数p的整数幂，Λ(n)=ln(p)，否则Λ(n)=0

　　不大于正整数n的质数的数目π(n)

　　整数拆分的数目P(n)：一个整数能表示成正整数之和的方法的数目[2]