相对于任意平面的镜像变换矩阵

本文将讨论任意点v相对于某个平面镜像变换后的点v'的推导过程。

首先见下图:



图画的不好，大家将就看哈^-^！

图中的v代表将要变换的点、v'是v相对于平面镜像变换后的点、n是平面的法向量，在讨论中，我们始终假设n为单位向量、k是自v到该平面的最短有向距离、q是平面上距离点v最近的点、d是原点到平面的最短有向距离。

根据向量加法的几何意义，我们知道


同样的，我们可以知道

。然后，把上面求出的q值代入该公式，我们得到


那么现在，我们就面临这样的问题，k怎么求呢？

首先，我们在图中创建个直角三角形，如图:



此时，我们可以发现

。同时

，为什么是-d呢，因为原点位于平面的负方向，所以d是小于0的，而求b的长度，要取d的长度，即-d。此时，合并2个公式，我们就求得了

。此时，把k的值代入上述公式，我们得到了


如此，我们便得到了v'与v的关系表达式，展开看下会更明显:



现在，把它写成矩阵形式，我们便得到了相对于任意平面的镜像变换矩阵:



以下为详细的推导出矩阵形式（add 草原Song）