单双精度浮点数的IEEE标准格式

单双精度浮点数的IEEE标准格式

关键字:浮点数 IEEE标准

大多数高级语言按照IEEE-754标准来规定浮点数的存储格式。

IEEE-754规定 单精度浮点数用4字节存储，双精度浮点数用8字节存储，表示为三部分：符号位、阶和尾数。

S+E+M

S 符号位，尾数的符号位；

E 阶，即指数；

M 尾数，即有效小数位数；

单精度格式

符号位 1位, bit31

阶 8位，bit30~23

尾数 24位，bit22~0

双精度

符号位 1位，bit63

阶 11位，bit62~52

尾数 53位，bit51~0

省略位

二进制数的规格化表示中，小数点前的数（即二进制表示的最高位）为1，故省略之。

所以 float的M 用23位可以表示24位的值，double的M 用52位可以表示53位的值。

阶码

以移码的形式存储。对于float偏移量为127（7FH），对于double偏移量为1023（3FFH）。

存储浮点数的阶码之前，偏移量要先加到阶码上。原因如下：

float的值的二进制科学计数法表示中 阶的范围 ±127， 当一个数“无限”趋近于0，即为 浮点0.

为了保证 浮点0 与 机器0 的存储表示一样，阶在存储时加上偏移 127

eg

２^3，移码的结果　在单精度中为82H（130＝3+127），在双精度中为402H（1026＝3+1023）。

浮点数有两个例外

0.0存储为全零；

无限大数的阶码存储为全1，尾数部分全零，符号位指示正无穷或者负无穷。

例子：

float 十进制 规格化(S+E+M)

-12 -1.1x23 1 10000010 1000000 00000000 00000000

0.25 1.0x2-2 0 01111101 0000000 00000000 00000000

所有字节在内存中的排列顺序

intel的cpu按little endian顺序

motorola的cpu按big endian顺序排列。

常用的浮点数存储格式：32-bit IEEE-754 floating-point format

对于大小为32-bit的浮点数（32-bit为单精度，64-bit浮点数为双精度，80-bit为扩展精度浮点数），

1、其第31 bit为符号位，为0则表示正数，反之为复数，其读数值用s表示；

2、第30～23 bit为幂数，其读数值用e表示；

3、第22～0 bit共23 bit作为系数，视为二进制纯小数，假定该小数的十进制值为x；

十进制转浮点数的计算方法：则按照规定，十进制的值用浮点数表示为：

如果十进制为正，则s = 0，否则s = 1；将十进制数表示成二进制，然后将小数点向左移动，直到这个数变为1.x的形式即尾数，移动的个数即位指数。为了保证指数为正，将移动的个数都加上127，由于尾数的整数位始终为1，故舍去不做记忆。

对3.141592654来说，

1、正数，s = 0；

2、3.141592654的二进制形式为正数部分计算方法是除以二取整，即得11，小数部分的计算方法是乘以二取其整数，得0.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000，那么它的二进制数表示为11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1；

3、将小数点向左移一位，那么它就变为1.1001 0010 0001 1111 1011 0101 01，所以指数为1+127=128，e = 128 = 1000 0000；

4、舍掉尾数的整数部分1，尾数写成0.1001 0010 0001 1111 1011 0101 01，x = 921FB6

5、最后它的浮点是表示为0 1000 0000 1001 0010 0001 1111 1011 0101 = 40490FDA

浮点数转十进制的计算方法：

则按照规定，浮点数的值用十进制表示为：

＝ (-1)^s * (1 + x) * 2^(e - 127)

对于49E48E68来说，

1、其第31 bit为0，即s = 0

2、第30～23 bit依次为100 1001 1，读成十进制就是147，即e = 147。

3、第22～0 bit依次为110 0100 1000 1110 0110 1000，也就是二进制的纯小数0.110 0100 1000 1110 0110 1000，其十进制形式为(0.110 0100 1000 1110 0110 1000 * 2^23) / (2^23) = (0x49E48E68 & 0x007FFFFF) / (2^23) = (0x648E68) / (2^23) = 0.78559589385986328125，即x = 0.78559589385986328125。

这样，该浮点数的十进制表示

=　(-1)^s * (1 + x) * 2^(e - 127)

=　(-1)^0 * (1+ 0.78559589385986328125) * 2^(147-127)

= 1872333

浮点数有两个例外。数0.0存储为全零。无限大数的阶码存储为全1，尾数部分全零。符号位指示正无穷或者负无穷。

float型变量：根据IEEE的浮点标准，一个浮点数应该用下述形式来表示:

V=(-1)^s * M * 2^E （公式1）

在C语言中，32位的float型变量有着这样的规定：首位表示符号位s，接下来的8位（指数域）用于表示2的指数E，剩余的23位（小数域）表示M（取值范围为[1，2）或[0，1））。除了上述规定以外，根据指数域的二进制表示情况不同，被编码的float型数字又可以分成三种情况——

1、规格化值。当指数域的8个二进制数字既非全零又非全1时，float数值就是这种情况。设指数域的八位二进制所表示的十进制数为e, 则公式1中的E就是 E = e - (2^7 - 1) （公式2）；

而且此时，将小数域所表示的二进制假设为(f22)(f21)...(f1)(f0) (注2) ，则该小数域所表示的值即为f = 0.(f22)(f21)...(f1)(f0).于是M = 1 + f

2. 非规格化值。当指数域的8个二进制数字为全0时，float数值就为这种情况。这时指数域所表示的十进制数为0，规定指数值为 E = 1 - (2^7 - 1),也就是E为定值-126；此时小数域的值仍表示f = 0.(f22)(f21)...(f1)(f0),但是M的值却变成M = f。

3. 特殊值。当指数域的8个二进制数字为全1时即为这种情况。当小数域为全零时，该float值根据符号位的不同表示正无穷或者负无穷；当小数域为非全零时，该float值为NaN（Not a Number）。