压缩感知测量矩阵的研究现状(转)

转自：http://to-cs.blog.sohu.com/110079576.html

CS的关键是测量矩阵的构造，它可由测量波形和采样方式决定。目前常采用的测量波形是i.i.d.高斯随机波形，i.i.d.贝努力分布的随机波形，正交函数系，等；常用的采样方式是均匀采样，随机采样，jitter采样，等。

Tao测不准原理表明：当N是质数时，2*S个频域数据采集就可将S-稀疏的N维时域信号精确重建。2006年Candes, Romberg及Tao等人在研究高度欠定的核磁共振成像问题时，得出一个重要的结论：当测量矩阵为Fourier矩阵时，O(K*log(N))的数据采集量能将N维空间的K稀疏信号精确重建。2007年，Candes和 Romberg将Fourier测量方式推广到任意正交测量并得到类似的结论。这两项工作表述了一个问题：可通过低维频域(或时域)信号实现高维稀疏时域(或频域)信号的精确重建。值得一提的是Fourier测量并不普适，即，当被检测的信号不是时域或频域稀疏时，Fourier测量矩阵并不能减少测量数据的。为解决该问题，Candes和Tao等证明：i.i.d.的高斯随机变量形成测量矩阵可成为普适的CS测量矩阵。尽管理论上的完美特性，但是无论在硬件实现上和重建算法构造上，该测量矩阵均无法实用。2007年Candes, Romberg和Tao等人建立了著名的RIP理论，成为CS的奠基性理论。该结果表明：只要测量矩阵(注意：不一定是随机矩阵，可以是确定性矩阵)满足所谓的RIP特性，那么K*log(N/K)的采样就能将N维信号的K个最大值稳定地重建出来。事实上，RIP理论与许多已有的统计理论拥有相同的特征，例如， Johnson-Lindenstrauss定理，Kashin-Garnaev-Gluskin理论，Donoho测不准原理，等等。尽管RIP完美的特性，然而很难用它来判断某一测量矩阵(除Fourier测量矩阵，高斯随机矩阵，等)是否拥有这种特性，并且也很难用它来指导设计测量矩阵。尽管如此，不少作者基于RIP理论提出了多种确定性测量矩阵，例如，Chirp测量矩阵， Alltop序列形成的测量矩阵，随机卷积形成的测量矩阵，等，除了2008年我和向寅博士合作从理论上严格地证明了随机卷积的采样理论外，其它的测量方式仅仅用数值仿真作了说明，缺乏严格的理论证明。在实际应用中，工程人员更多关心的是判断某一测量矩阵是否能重建某一稀疏程度的信号,并且需要多少的测量数据。为衡量某个测量矩阵能处理稀疏信号的能力，除RIP理论外，还有Donoho提出的相关性子判别理论， Donoho和Tanner的k-neighborly理论， Kashin和Temlakov提出的测量算子零空间l1/l2特性，等等。除Donoho提出的相关性判别理论外，其它理论与RIP理论一样，都很难用来判别某一测量矩阵的形态；不幸的是，Donoho的判别理论在许多实际应用中无法使用。因此，研究测量矩阵形态的判别理论是目前的研究热点，也是设计新的测量矩阵的关键。

如上所述，CS测量矩阵的实现硬件是将CS推向实用的必备条件。在RIP理论指导下，莱斯大学R. Baraniuk教授等研制的单像素相机和A/I转换器。随后，有多种CS硬件相继报道，例如，麻省理工学院L.L.Wald教授等人研制的MRI RF脉冲设备，麻省理工学院W. T. Freeman教授等人研制的编码孔径相机，耶鲁大学研制的超谱成像仪，伊利诺伊州立大学O. Milenkovic等人研制的DNA微阵列传感器，我们课题组研制的CS滤波器和混沌腔，等等。这些CS硬件实现将CS向实用化推进了一大步，然而仅能处理有限维信号，无法处理无限维信号。另外，由于缺乏有效的CS矩阵判别理论，除rice大学的单像素相机(硬件成本昂贵，重建算法效率低下)外，其它硬件均缺乏严格的理论分析。

综上所述：CS的目的是尽可能减少测量数据。因此需要解决如下两个方面的问题：

(a)测量矩阵的选择，该测量矩阵需要满足三个条件：

(a.1)需要最少的采集数据

(a.2)便于硬件实现和优化算法实现

(a.3)普适

(b) 测量矩阵的硬件实现