【算法与数据结构】不相交集合——并查集

来自coursera的课程：普林斯顿大学的算法。

通俗地讲，在一堆item上进行两种操作，一是合并，即将某两个item所在的集合合并为一个大集合；二是查询，即给定的两个item是否属于同一个集合。

高效快速地支持这种操作的数据结构就是并查集。

先看数学原理：

等价关系与等价类

从数学上看，等价类是一个对象(或成员)的集合，在此集合中的所有对象应满足等价关系。若用符号"≡"表示集合上的等价关系，那么对于该集合中的任意对象x,y, z，下列性质成立：

1、自反性：x ≡ x

2、对称性：若 x ≡ y 则 y ≡ x

3、传递性：若 x ≡ y 且 y ≡ z 则 x ≡ z

因此，等价关系是集合上的一个自反、对称、传递的关系。

常用实现：

常用的实现方法是采用森林结构，即相同集合的item同属于一个树。

使用树节点加权优化后，可以保证树的高度不超过logN（其中N为item数量）；再加上路径压缩优化，平均复杂度可以在常数级别。

class UinonFind
{
public:
UinonFind(int N)
{
NUM = N;
id = new int
;
sz = new int
;
for (int i = 0; i < N; i ++)
id[i] = i, sz[i] = 1;
}
int root(int i)
{
while (i != id[i])
{
id[i] = id[id[i]]; //优化1:路径压缩
i = id[i];
}
return i;
}
int connected(int p, int q)
{
return root(p) == root(q);
}
int connect(int p, int q)
{
int i = root(p);
int j = root(q);
//优化2: 加权树
if (sz[i] < sz[j]) {id[i] = j; sz[j] += sz[i];}
else               {id[j] = i; sz[i] += sz[j];}
}
private:
int *id;
int *sz;
int NUM;
};

例题：

给定N个整数｛0，1，2，...，N-1｝的集合，以及一些在该集合上的请求：

1) remove x 。 即将x从集合中删除

2) find x。即在集合中不小于x的最小整数，例如集合为｛1， 2， 4，5｝，find 3，结果为4.

分析：

可以用并查集来解决这个问题。用并查集来维护相邻的被删除的集合，例如：{0, 1, 2, 3, 4}中删除掉{1,2}，那么并查集数据结构中id[]可能是

id[] = {0, 1, 1, 3, 4}。我们只需要为每个id[i]=i的节点增加一个信息，来保存该子树中最大的值。

以5个整数的集合做个演示：

操作	id[]	max[]
初始	{-1，-1，-1，-1，-1}	{-1，-1，-1，-1，-1}
remove 1	{-1，1，-1，-1，-1}	｛-1，1，-1，-1，-1｝
remove 4	{-1， 1， -1， -1， 4}	｛-1， 1，-1，-1，4｝
remove 2	{-1， 1，1，-1，4}	｛-1，2，-1，-1，4｝

当执行find x操作时，如果id[x]==-1，即结果为x；否则，另id[id[...id[x]...]]为x的根root，那么root+1即为结果，如果root==N，则无解。