曲线拟合的最小二乘法（基于OpenCV实现）

在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据

，求出自变量x与因变量y的函数关系

，这是

为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少(即n＜m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求

通过点

，而只要求在给定点

上的误差

的平方和

最小.当

时，即

　　　　

　　　　　(5.8.1)

这里

是线性无关的函数族，假定在

上给出一组数据

，

以及对应的一组权

，这里

为权系数，要求

使

最小，其中

　　　　

　　　　　　　(5.8.2)

这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法.

　　(5.8.2)中

实际上是关于

的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得

　　

　　　　(5.8.3)

根据内积定义(见第三章)引入相应带权内积记号

　　　　　　

　　　　　　　(5.8.4)

则(5.8.3)可改写为

　　　　　


这是关于参数

的线性方程组，用矩阵表示为

　　　　　　

　　　　　　(5.8.5)

(5.8.5)称为法方程.当

线性无关，且在点集

上至多只有n个不同零点，则称

在X上满足Haar条件，此时(5.8.5)的解存在唯一(证明见［3］).记(5.8.5)的解为

　　　　　　　　


从而得到最小二乘拟合曲线

　　　　　

　　　　　(5.8.6)

可以证明对

，有

　　　　　


故(5.8.6)得到的

即为所求的最小二乘解.它的平方误差为

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　(5.8.7)

均方误差为

　　　　　　　　　　


　　在最小二乘逼近中，若取

，则

，表示为

　　　　　　　

　　　　　　(5.8.8)

此时关于系数

的法方程(5.8.5)是病态方程，通常当n≥3时都不直接取

作为基。

源代码如下：

基于OpenCV

int calAngle(IplImage **lpSrc, IplImage **lpRes, double* angle)

{

    long double a,b,q;

    long double u11,u12,u21,u22,c1,c2,p;

    int i,j;

    MYPOINT *points = 0;

    IplImage *src = *lpSrc;

    IplImage *res = *lpRes;

    int step = src->widthStep/sizeof(char);    //排列的图像行大小，以字节为单位   

    uchar *srcData = (uchar*)src->imageData;

    int elementCount = 0;

    MYPOINT tempPoint;

    MYPOINT *interatorPoint;

    CvPoint startPoint, endPoint;

   

    res = cvCreateImage( cvGetSize(src), 8, 3 );

    memset(res->imageData, 0x00, (src->width)*(src->height));

    u11 = 0.0;

    u12 = 0.0;

    u21 = 0.0;

    u22 = 0.0;

    c1 = 0.0;

    c2 = 0.0;

    p = 0.0;

   

    points = (MYPOINT*)malloc((src->height) * sizeof(MYPOINT));

    interatorPoint = points;

    for (j = 0; j < src->height; ++j)

    {

        for (i = 0; i < src->width; ++i)

        {

            if (srcData[j*step + i] == 255)

            {

                tempPoint.x = i;

                tempPoint.y = j;

                *interatorPoint = tempPoint;

                ++interatorPoint;

                ++elementCount;

                break;

            }

        }

    }

    interatorPoint = points;

    for (i = 0; i < elementCount; i++)//列法方程

    {

        if (0 == i)

        {

            startPoint.x = (*interatorPoint).x;

            startPoint.y = (*interatorPoint).y;

        }

        u11+=1.0;

        u12+=(*interatorPoint).x;

        u22+=(*interatorPoint).x*(*interatorPoint).x;

        c1+=(*interatorPoint).y;

        c2+=(*interatorPoint).y*(*interatorPoint).x;

        ++interatorPoint;

        //printf("##:%d:/t    %lf, %lf, %lf, %lf, %lf%\n", i, u11, u12, u22, c1, c2);

    }

    u21=u12;

    a=(c1*u22-c2*u12)*1.0/(u11*u22-u12*u21);//求a,b的解

    b=(c1*u21-c2*u11)*1.0/(u21*u12-u22*u11);

    interatorPoint = points;

    for(i = 0; i < elementCount; i++)

    {

        (*interatorPoint).z=a+b*(*interatorPoint).x;

        p+=pow(((*interatorPoint).z-(*interatorPoint).y),2);

        ++interatorPoint;

    }

   

    q=sqrt(p);

    //输出线性方程   

    printf("answer:s(x)=%lf+%lf(x)\n",a,b);

    endPoint.y = src->height - 1;

    endPoint.x = ( endPoint.y -a ) / b;

    printf("endPoint:%d, %d\n", endPoint.x, endPoint.y);

    //输出均方误差

    printf("均方误差:q=%lf\n",q);

    *angle = atan(b);

    printf("Angle is: %f", *angle*180.0/PI);

   

    cvLine(res, startPoint, endPoint, CV_RGB(0,255,0), 1, 8 );

    cvReleaseImage(lpRes);

   

    *lpRes = res;

   

    free(points);

    return 0;

}

拟合后的结果如下：

其中左边是离散的一些点，右边绿色的线是拟合后的直线。