贪心算法 - 单源最短路径 Dijkstra

单源最短路径：

一个带权有向图G=(V,E)，其中n个顶点Vertex，以及连接各个顶点之间的边Edge，可能有些顶点之间没有边，每条边上的权值都是非负值。

给定其中的一个顶点，称之为源。

求出源到其他所有顶点之间的最短路径。

解法：

Dijkstra算法

以源为起始顶点集合S，向外扩张，

将从源到其他顶点且只经过S中顶点的路径，称为特殊路径。

每次都将S之外的顶点中的 特殊路径长度最短的顶点加入到S中，直到所有的顶点都已经在S中为止。

可以看出，该算法需要n-1步迭代，每次都会将一个顶点加入到S里。

以下图为例，1为源：



(1)S=[1]

初始情况

(2)S=[1,2]

[2,3,4,5]中2离S中最近，故将2放入S。

(3)S=[1,2,4]

[3,4,5]中4离S中最近，3离S得距离为60=10+50,4的距离为30,5的距离为100，故将4放入S中。

(4)s=[1,2,4,3]

[3,5]中3离S得距离为10+50=60,5的距离为30+60=90，故将3放入S中。

(5)S=[1,2,4,3,5]

结束。



以邻接矩阵表示图。

[

[-1,10,-1,30,100],

[-1,-1,50,-1,-1],

[-1,-1,-1,-1,10],

[-1,-1,20,0,60],

[-1,-1,-1,-1,-1]

]

实现如下：

public class Dijkstra {

public static final int NOT_REACHED = -1;

/**
* n vertexs
* @param E n*n
* @param source 0,1,2,3,...,n-1
*/
public static void dijkstra(int[][] E, int source) {
int n = E.length;
boolean[] S = new boolean
; // 标示各个顶点是否在S中
int[] dist = new int
; // 保存source到各顶点，只经过S中顶点的路径的最短长度，如果没有这样的路径，为-1
int[] prev = new int
; // 保存最短路径，的上一个顶点，以供回溯之用

// 初始化dist
for (int i = 0; i < n; i++) {
dist[i] = E[source][i];
S[i] = false;
if (isReachable(E, source, i)) {
prev[i] = source;
} else {
prev[i] = -1;
}
}
S[source] = true;

for (int i = 0; i < n; i++) {
// 找出dist最小的
int v = -1, j, min;
// 先找第一个不在S中的
for (j = 0; j < n && S[j]; j++) {
}
if (j == n)
continue;
v = j; // 第一个不在S中的
min = dist[v];
// 再找出dist最小的
for (j = j + 1; j < n; j++) {
if (!S[j] && dist[j] != -1 && dist[j] < min) {
min = dist[j];
v = j;
}
}

S[v] = true; // 将dist最小的v放入S中
for (j = 0; j < n; j++) {
if (!S[j] && isReachable(E, v, j)
&& (dist[j] == -1 || dist[v] + E[v][j] < dist[j])) {
// 修订dist，看从v到各顶点的距离是否变短了
dist[j] = dist[v] + E[v][j];
prev[j] = v;
}
}

for (j = 0; j < n; j++) {
System.out.print(dist[j] + "  ");
}
System.out.println();
}
}

private static boolean isReachable(int[][] E, int v1, int v2) {
return E[v1][v2] != NOT_REACHED;
}

public static void main(String[] args) {
int[][] E = { { -1, 10, -1, 30, 100 }, { -1, -1, 50, -1, -1 },
{ -1, -1, -1, -1, 10 }, { -1, -1, 20, 0, 60 },
{ -1, -1, -1, -1, -1 } };
dijkstra(E, 0);
}
}