Vijos P_1002 过河 状态优化dp

http://www.vijos.org/Problem_Show.asp?id=1002

题意：

有一座独木桥，桥的长度是L，现在有一只青蛙，想从桥的一边跳到桥的另外一边去，但是现在桥上有一些讨厌的石头， 青蛙很不希望踩在这样的石头上，因此它想尽可能地避开这些石头不踩而达到河的对岸。现在已知青蛙从0点开始跳，桥的结束左边是L，如果青蛙跳到了L之后或者L点就表示它已经过河了，问最少需要经过几次石头才能到对岸。L<=1e9

思路：

很容易地我们就可以得到下面的dp方程：dp[i] = Min{ dp[i-j] + add } ， S<=j<=T，add表示的是第i个点是否是石头，是就是1，不是就是0。 这样的复杂度是O（L*T），在L<=1e9的情况下是显然会超时的，这样我们就必须要想办法优化这样问题。首先我们要明白我们要优化什么，dp优化我知道的有两种， 一种是优化状态， 一种是优化决策点，这样这个题目显然决策点是不能再优化了，因为我们的状态就一种有1e9个了，就算再优化决策点，也就是减少T倍的复杂度还是无法解决本题，这样就需要优化状态，
所谓的优化状态就是说设法减少没有用的状态，从而达到减少状态数的目的。 对于本题， 没用的状态显然是那些两个石头之间的空白块，因为如果我们的在决策i点的时候，i的前T个点都可以取到最小值（这里包括两层意思，第一层是点可达，第二层意思是到点的距离达到区间的最小值），那么它后面的所有点都已经没有算的必要了，而且都没有存在的必要，因为每个点都可以转化到它前面的一个点上去。 有了这个结论之后， 我们就开始想两个石头之间到底要多少距离才可以将后门的点删除了呢？，这个问题我们可以这样想， 首先假设两块石头分别是s 、 t，
有一点我们是可以肯定的，在s点后面的T长度内，一定会存在一个最小值，而且是本区间内的最小值，然后我们现在需要找的是到多少长度之后，会出现一段连续的空间它的最小值都取得区间的最小值，而且连续区间都有值，这样我们就可以将后面的区间删除了。这个问题我们可以这么想，从区间开始的那个位置，我们开始第一次往后拓展，也就是说在最小值点的后面S到T区间内可以取得最小值，这时候的区间长度是T - S + 1 ， 然后我们再开始一次拓展， 就达到了[ 2*s , 2 * T ]长度，此时长度变成了2*(T-S+1)，当我们拓展T次之后，区间的长度就变成了:T*(T-S)，如果当S<T的时候，此时就肯定有一段连续的区间的长度变成了最小值，这样后面的点就可以删除了，所以最后这个距离就是T*(T+1)
,也就是110 （这是一个肯定可以保证的距离，并不是最小的距离） 。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
int L , S ,T , M ;
const int MAXN =  110 ;
int pos[MAXN] ;
int dis[MAXN] ;
int tot  ;
bool st[110*110] ;

void solve(){
pos[0] = 0 ;
dis[0] = 0 ;
memset( st , 0 ,sizeof(st) ) ;
for(int i=1;i<=M;i++){
if( pos[i]-pos[i-1] > 110 ){
dis[i] = dis[i-1] + 110 ;
st[ dis[i] ] = 1 ;
}
else{
dis[i] = dis[i-1] + pos[i] - pos[i-1] ;
st[dis[i] ] = 1 ;
}
}
if( L-pos[M] > 110 )
dis[M+1] = dis[M] + 110 ;
else
dis[M+1] = dis[M] + L - pos[M] ;
tot = dis[M+1] + T ;
}
int dp[110*110] ;
int MIN(int a, int b){
if(a == -1) return b ;
else  return a > b ? b : a ;
}
void DP(){
memset(dp,-1,sizeof(dp));
dp[0] = 0 ;
int ans = M + 1 ;
for(int i=1;i<=tot;i++){
int add ;
if( st[i] ) add = 1 ;
else        add = 0 ;
for(int j=S;j<=T;j++){
if(i-j>=0 && i-j<dis[M+1] && dp[i-j]!=-1 )
dp[i] = MIN(dp[i] , dp[i-j] + add );
}
if( i >= dis[M+1] )     ans = MIN(dp[i] , ans);
}
printf("%d\n",ans);
}

int main(){
while( scanf("%d",&L)==1 ){
scanf("%d%d%d",&S,&T,&M);
for(int i=1;i<=M;i++)   scanf("%d",pos+i);
std::sort(pos+1 , pos+1+M );
if(S == T){
int ans = 0 ;
for(int i=1;i<=M;i++){
if( pos[i]%S == 0 ) ans ++ ;
}
printf("%d\n",ans); continue ;
}
solve() ;
DP();
}
return 0 ;
}