【算法导论】第12章二叉查找树

1、问题引入

　　查找树是一种数据结构，它支持多种动态集合操作，包括构造、查找、插入、删除、寻找最小值、寻找最大值等，其中构造过程主要采用不断插入值来完成。

　　二叉查找树中的关键字存储方式满足以下性质：设x为二叉查找树中的一个节点，如果y是x的左子树中的一个节点，则y->data < x->data;如果y是x的右子树中的一个节点，则y->data > x->data。

　　二叉查找树上执行的基本操作的时间与树的高度成正比，对于一棵含n个节点的完全二叉树，这些操作的最坏情况运行时间为o（lgn）。同样的，如果树是含有n个节点的线性链，则这些操作的最坏时间为o（n）。

2、数据结构

　　二叉查找树是按照二叉树结构来组织的，这样的树可以采用数组来表示，也可以采用链表结构来表示，不过数组表示没有链表结构简单明了，这里采用链表结构来表示，每一个节点就表示一个对象，节点中包含data数据部分、left指针（指向左儿子）、right指针（指向右儿子），如果某个节点的儿子节点不存在，则相应的儿子节点为NULL。

　　定义为：typedef struct treenode
　　　　　　{
　　　　　　 　　elemType data;
　　　　　　　　struct treenode *left;
　　　　　　　　struct treenode *right;
　　　　　　}tree;

3、基本算法

3.1 构造二叉查找树算法

//构造二叉查找树
tree *makeTree(tree *p)
{
scanf("%d",&k);
while(k!=-1)//以输入-1表示构造结束
{
p=insertTreeNode(p,k);//通过插入节点方式构造
scanf("%d",&k);
}
return(p);//得到树p
}

3.2 中序遍历算法

void printTree(tree *t)
{
if(t)
{
printTree(t->left);
printf("%d ",t->data);
printTree(t->right);
}
}

3.3 查找一个给定的关键字所在节点算法

tree *searchTreeNode(tree *p,elemType k)
{
if(p==NULL) || k=p->data
return p;
if(k<p->data)
return searchTreeNode(p->left,k);
else
return searchTreeNode(p->right,k):
}

3.4 查找最大和最小关键字元素

//在二叉查找树中查找最小节点
tree *findMinTreeNode(tree *t)
{
if(t==NULL) //树为空
{
printf("error!!");
return NULL;
}
while(t->left)//二叉查找树中的最小节点在最左边
t=t->left;
return(t);
}
//二叉查找树中的最大节点在最右边，算法类似。。。

3.5 在二叉查找树中插入一个节点

//在二叉查找树中插入节点
tree *insertTreeNode(tree *t,elemType e)
{
if(t==NULL)//定位到要插入的节点位置t=null
{
t=(tree *)malloc(sizeof(tree));
if(t==NULL) printf("error!");
t->data=e;
t->left=NULL;
t->right=NULL;
}
else if(e<t->data )//节点值小于t节点值
t->left=insertTreeNode(t->left,e);
else //节点值不小于t节点值得
t->right=insertTreeNode(t->right,e);
return(t);//返回结果
}

3.6 在二叉查找树中删除一个节点

　　删除节点的操作稍微复杂一些，要分三种情况：

　　　　(a)如果要删除的节点没有子女，则定位到该节点之后直接删除即可。

　　　　(b)如果要删除的节点有一个子女，则定位到该节点之后，让节点的父节点直接指向该节点的子节点，然后删除该节点即可。

　　　　(c)如果要删除的节点有两个子女，则定位到该节点之后，找出其后继结点，用后继结点的data和附加数据替换该节点的数据，然后删除后继结点（递归调用删除算法）。

具体算法：

tree *deleteTreeNode(tree *t,elemType e)
{
tree *p;
if(t==NULL)
{
printf("error!!!\n");
return NULL;
}
if(e < (t->data))//e小于t中的data值，则从t的左子树中删除e；
t->left=deleteTreeNode(t->left,e);
else if(e > (t->data))//e大于t中的data值，则从t的右子树中删除e；
t->right=deleteTreeNode(t->right,e);
else if((t->left) && (t->right))//找到节点且该节点的左右子树都存在
{
p=findMinTreeNode(t->right);//找到后继结点
t->data=p->data;//将后继结点的值赋给t节点
t->right=deleteTreeNode(t->right,t->data);//删除后继结点
}
else//找到节点且节点或者只存在一个子节点或者不存在子节点
{
p=t;
if(t->left==NULL)
t=t->right;
else if(t->right==NULL)
t=t->left;
free(p);
return(t);
}
return(t);
}

4、具体的代码实现：

View Code

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
typedef int elemType;
typedef struct treenode
{
elemType data;
struct treenode *left;
struct treenode *right;
}tree;
tree *makeTree(tree *p);
void printTree(tree *t);
tree *insertTreeNode(tree *t,elemType e);
tree *deleteTreeNode(tree *t,elemType e);
tree *findMaxTreeNode(tree * t);
tree *findMinTreeNode(tree *t);
tree *findTreeNode(tree *t,elemType e);
//-------------------------------------------------
//构造二叉查找树
tree *makeTree(tree *p)
{
int k;
printf("构造树，请输入节点值(以-1结束)：\n");
scanf("%d",&k);
while(k!=-1)
{
p=insertTreeNode(p,k);
scanf("%d",&k);
}
printf("\n");
return(p);
}
//中序遍历二叉查找树
void printTree(tree *t)
{
if(t)
{
printTree(t->left);
printf("%d ",t->data);
printTree(t->right);
}
}
//在二叉查找树中查找最小节点
tree *findMinTreeNode(tree *t)
{
if(t==NULL)
{
printf("error!!");
return NULL;
}
while(t->left)
t=t->left;
return(t);
}
//在二叉查找树中查找最大节点
tree *findMaxTreeNode(tree *t)
{
if(t==NULL)
{
printf("error!!");
return NULL;
}
while(t->right)
t=t->right;
return(t);
}
//在二叉查找树中插入节点
tree *insertTreeNode(tree *t,elemType e)
{
if(t==NULL)
{
t=(tree *)malloc(sizeof(tree));
if(t==NULL) printf("error!");
t->data=e;
t->left=NULL;
t->right=NULL;
}
else if(e<t->data )
t->left=insertTreeNode(t->left,e);
else
t->right=insertTreeNode(t->right,e);
return(t);
}
//在二叉查找树中删除节点
tree *deleteTreeNode(tree *t,elemType e)
{
tree *p;
if(t==NULL)
{
printf("error!!!\n");
return NULL;
}
if(e < (t->data))//e小于t中的data值，则从t的左子树中删除e；
t->left=deleteTreeNode(t->left,e);
else if(e > (t->data))//e大于t中的data值，则从t的右子树中删除e；
t->right=deleteTreeNode(t->right,e);
else if((t->left) && (t->right))//找到节点且该节点的左右子树都存在
{
p=findMinTreeNode(t->right);//找到后继结点
t->data=p->data;//将后继结点的值赋给t节点
t->right=deleteTreeNode(t->right,t->data);//删除后继结点
}
else//找到节点且节点或者只存在一个子节点或者不存在子节点
{
p=t;
if(t->left==NULL)
t=t->right;
else if(t->right==NULL)
t=t->left;
free(p);
return(t);
}
return(t);
}
void main()
{
int d;
tree *p;
p=NULL;
//-----------------------------------------------
p=makeTree(p);
printf("构造后的树采用中序遍历结果为：\n");
printTree(p);
//-----------------------------------------------
printf("插入节点：\n");
printf("请输入要插入的节点值：\n");
scanf("%d",&d);
p=insertTreeNode(p,d);
printf("插入节点后的树采用中序遍历结果为：\n");
printTree(p);
//-----------------------------------------------
printf("删除节点：\n");
printf("请输入要删除的节点值：\n");
scanf("%d",&d);
p=deleteTreeNode(p,d);
printf("删除节点后的树采用中序遍历结果为：\n");
printTree(p);
//------------------------------------------------
printf("\n构造树中的最小节点为：\n");
p=findMinTreeNode(p);
printf("%d  \n",p->data);
printf("\n构造树中的最大节点为：\n");
p=findMaxTreeNode(p);
printf("%d  \n",p->data);
}

5、参考资料：

（1）http://kb.cnblogs.com/a/2336968/

（2）算法导论