关于堆排序(参考自算法导论)

堆排序是一种很有用的排序算法，有用的并不是在排序上的用处，而是那个大根堆和小根堆的建立，在平时的运用中，举足轻重！一个最有用的实例就是操作系统的进程的最大优先权调度算法。从很多进程中，找到优先级最大的进程，然后分配CPU资源。堆排序的主要步骤也就是创建堆。一旦最大堆（最小堆）创建好了，排序也是十分简单的事情了。下面的我们全部以大根堆来做讲解

堆是一种数据结构，可以理解成为一种完全二叉树，但是有个苛刻的要求：除了根节点外的所有节点的父节点的值要大于该节点的值。其实就是所有父节点的值要大于子节点的值。比如下图描述的结构：



我们有了这种结构之后，就可以确定从堆顶所得到的值一定是最大值，我们可以把最大值换出来，然后再次把我们的结构打乱了的堆重新组合成为标准的大根堆，这就是整个堆排序的过程。堆排序的主要时间也是花在组件堆和重建堆上。

组建堆的过程：

说到最重要的一个子环节：保持最大堆 max_heapify

说明：这个操作可以使堆中的某个节点在其子树满足堆性质的前提下，让它及其子树满足堆的性质。



下图的堆中，发现第二个节点不满足堆的性质，且它的子节点对应的子树都是满足堆的性质的，所以进行如下操作，让其重新调整为大根堆

max_heapify:

1）对比节点与其两个子节点，选出值最大的一个节点，如果当前节点不是最大，就把子节点中最大的一个和当前节点进行交换操作

2）由于第一个操作可能让交换节点的那棵子树失去堆的性质，所以对交换后的节点也进行第一布操作，这是一个递归的过程

以max_heapify(pos=2)为例的过程如图：

（1、交换节点）



（2、对交换节点进行递归调用）



从上面的操作可以看出，如果我们的子树都是符合大根堆的，则可以依从下往上的的让整个树都变成大根堆。由此特性，我们可以写出让整个树变成大根堆堆的算法：

build_max_heap

ALL）对N/2到1号节点进行max_heapify操作，让整个树变成大根堆。（因为在完全二叉树中只有N/2的节点存在子树其余N/2是叶子）过程我就不再画图了。

以上两步就是组成大根堆的所有过程了，简单吧。接下来就是排序过程了

heap_sort

1）把最后节点和首节点进行交换，得到最大值，放到末尾。

2）从堆中去掉最后一个节点，我们可以用heap_size来表示，heap_size减1即可。对从第一个节点进行max_heapify操作，取得第二大的值。

3）重复1和2操作，依次得到从大到小的所有的值。直到堆只有1个元素为止

具体过程如下：（只针对heap_size为10的情况）

（1、把最后节点和首节点交换，堆大小减1）



（2、堆首节点进行max_heapify操作，重建堆）



下面我们简单的对堆排序进行时间复杂度分析：

max_heapify的时间复杂度为O(lgN)(因为完全二叉树树的高度为lgN，最多只会进行二叉树高度次变换）

build_max_heap操作会N/2次调用max_heapify，则时间复杂度为O(N/2*lgN)

heap_sort操作会N次调用max_heap_fy，则时间复杂度为O(N*lgN)

综合上面，时间复杂度为O(N*lgN)+O(N*lgN)=O(N*lgN)

堆排序的效率还是很高的。至少是比较类的排序算法中最优的。

另外，很容易看出堆排序不是稳定的排序算法，因为如果2个相同的值，不是在一棵子树里面，而是分开的，很可能就把后面的那个值交换到了前面。这不用多说了。

总结：堆排序的主要用处并不是光在于它的排序，而是在于堆的这个性质，最大值或者最小值永远在第一个，而且保持性质的所付出的时间代价很小。这样可以做出很多有用的东西，比如优先级队列就是很好的一个应用。下面附上我自己实现的堆排序的C++源代码。

堆排序源码地址