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【转帖】双调欧几里德旅行商问题求解思想描述

2012-05-06 16:55 267 查看

一、问题介绍：

欧几里得旅行商问题是指：对于给定平面上的n个点，确定一条连接各点的、闭合的最短曲线这个问题是NP完全问题。Bitonic旅行路线问题是欧几里得旅行商问题的简化，这种旅行路线从最左边开始，严格地由左至右到最右边的点，然后再严格的由右至左回到开始点，求最短的路径长度。设计一个确定最优Bitonic旅行路线的O(n2)时间算法。假设不存在x坐标相同的点。

二、算法分析：

根据题意，首先将给定的n个点{p1,p2,…,pn}按x坐标的升序排列。在这里，我采用了快速排序算法，时间复杂度为O(nlogn)。对排好序的n个点进行分析很容易知道p1是最左侧的点，pn是最右侧的点。

下面刻画最优解的结构：首先定义路径Pi,j(i<=j)，对于路径Pi,j来说，它包含的点为p1,p2,..pj。其中pi点为起始点，pi,j表示从pi点开始走，一直向左走到p1然后从p1点沿不同的路径向右走直到pj。其次，定义数组d[i,j]表示pi,j路径上的最小Bitonic路线。很容易看出，题目所求的即是d[n,n]。题目的最优解为d[n,n]，此时，分析当pn点未连通的情况。因为点是排好序的，而且根据题意中的严格方向的要求，可以知道pn点必有一侧是跟pn-1点相连的，那么此时d[n-1,n]应该为pn-1,n的最优解。采用反证法，如果存在d’[n-1,n]<d[n-1,n]，那么用d’[n-1,n]来替换d[n-1,n]就可以得到一个更小的d[n,n]，与已知d[n,n]为最优解矛盾，因此假设不成立。

刻画好了最优解的结构，下面递归定义求解最优解的值：当只有一个点时，d[1,1]无意义。分析大于等于两个点的情况：当只有两个点时，很容易得到：d[1,2]=|p1p2|。对于路径Pi,j来说，如果pi不是pj的相邻点(i=j-1)，d[i,j]=d[i,j-1]+|pj-1pj|；当i=j-1时，对于pj点来说，有一侧必与pi点相连，此时要判断pj点的另一侧与哪个点相连。根据最优解的结构，此时，定义整数k(1<=k<j-1)，计算每个d[k,j-1]+|pkpj|的值，选择其中最小的一个作为d[i,j]的值，并且记录k值，将pj与pk相连。

根据以上分析，可以得到d[n,n]的计算方法如下所示：

d[1,2]=|p1p2|

d[i,j]=d[i,j-1]+|pj-1pj|(i<j-1)

d[i,j]=min1<=k<j-1{d[k,j-1]+|pkpj|}

d[n,n]=d[n-1,n]+|pn-1pn|

接下来计算最优解的值，采用自底向上方法，在计算过程中，需要保存两个值，第一个是数组d[i,j]的值，第二个是要记录pi,j中pj点的相邻连接点的下标，用数组pre[i,j]表示。算法如下所示：

Bitonic-tour(p)

Quicksort{p1,p2,…pn} in order of increasing x-coordinate

d[1,2]←|p1p2|

for j←3 to n

do for i←1 to j-2

         do d[i,j] ← d[i,j-1]+|pj-1pj|

            pre[i,j]=j-1

     d[j-1,j] ← ∞

     for k←1 to j-2

         do a←b[k,j-1]+|pkpj|

            if a<d[j-1,j]

               then d[j-1,j] ←a

                    pre[j-1,j] ←k

d[n,n]=d[n-1,n]+|pn-1pn|

return d and pre

最后，构造问题的最优解：根据题意，题目应该输出一个关于点集p的序列，这个序列即是题目中所求的旅游路线。在这里，我定义了输出的方式为从最右侧的点pn开始输出，依次输出左行方向的点直到p1，然后输出右行方向的点直到和pn相连的那个点为止。我们已知两个表d[i,j]和pre[i,j]，输出的算法描述如下所示：

Output-tour(p)

print pn

print pn-1

k←pre[n-1,n]

Print-tour(pre,k,n-1)

print pk

Print-tour(pre,i,j)

if i<j

then k←pre[i,j]

     print pk

     if k>1

        then Print-tour(pre,i,k)

else k←pre[j,i]

     if k>1

        then Print-tour(pre,k,j)
             print pk
文章出处：http://blog.myspace.cn/e/404572333.htm
有感：关键点的理解：就是排序后p1,...,pn-1,pn 这n个点，组成的最优解中，由于要求是双调，所以pn一
定与pn-1这个点向连。所以就可以把一个求环的问题归约成一个求简单路径的问题。
这个简单路径就是pn-1严格递减向左走到p1,然后p1在严格递增向右走到pn.这个路径恰好用到p1到pn这n个
点。求解思想就是动态规划。

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标签： 算法旅游 n2

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