用数论的知识解决模幂运算

在数学上，如果数A与数B对M取模后得到的值相等，即A%M=B%M，则称A与B是关于模M同余，记为A≡B。

此外对于同余运算有如下定理：（自己推导的话也可以轻易得证）

（1）若A≡B，则存在常数D，使得A+D≡B+D ;

（2）若A≡B，则存在常数D，使得A*D≡B*D ;

（3）若A≡B，则存在常数n，使得A^n≡B^n ;

基于此原理，对于模幂运算，即A^n%m的运算可以，通过A^n≡B^n（前提A≡B）的形式来化简，辅以定理（1）和（2），可以实现以较短的时间进行求解。

程序如下：

/*===========================================
*
* 函 数 名：ModCal
*
* 参    数：
*           int digit：底数
*           int n    ：指数
*           int m    ：模数
*
* 功能描述：运算数论原理解决模幂运算
*
* 返 回 值：返回模幂运算的结果
*
* 抛出异常：
*
* 作者：crazyhf 2012/05/04
*
============================================*/

int ModCal( int digit, int n, int m )
{
int muldigit, i ;
digit %= m ;

if ( !n || digit == 1 ) return 1 ;

for( i = 1, muldigit = digit;
i < n && muldigit < m;
muldigit *= digit, i++ ) ;

if( i == n ) return muldigit %= m ;

return ModCal( muldigit, n / i, m ) * ModCal( digit, n % i, m ) % m ;
}

模幂运算功能的测试代码如下：

# include <iostream>

using std::cin ;
using std::cout ;
using std::endl ;

int main( int argc, char **argv )
{
while( 1 )
{
int digit, n, m ;

if( cin >> digit >> n >> m )
{
cout << ModCal( digit, n, m ) << endl ;
}
}
return 0 ;
}