寻找丢失的数字（一）

这是一个有趣的面试题。

有一个袋子，里面放有1, 2, 3, ... , 100， 共100个整数，且每个数字只出现一次。现在由于袋子破了个洞，造成其中一个数字丢失了。请找出丢失的数字。很容易想到的方法是：我们可以用减法，1 + 2 + ... + 100的和减去袋子中所有数的和，其差就是丢失的那个数字。1 + 2 + ... + 100

可以由等差数列公式100 * (1 + 100) / 2 = 5050算出，我们只需要遍历一次袋子中的数字即可。

把这道题推广到一般情况：设 π 是{1, 2, ... , n}的一个全排列，π-1 是 π 中丢失了一个数字后的序列。找出序列 π-1 中缺失的数字。

当 n 比较小时，我们仍可以用上面的方法，但是当 n 很大时，上面的方法就会有溢出的问题。虽然我们可以合理安排加减法的顺序以避

免溢出，但实际上我们有更巧妙的方法来解决这类问题。

回忆异或(XOR)运算的性质：

a XOR a = 0 a XOR 0 = a我们从1异或到100，然后再和袋子里的数逐个异或，因为一个数与自身异或，结果是0，所以异或最后的结果就是丢失的数字。

Python 代码：

def find_missing_1_number(sequence, n):
""" returns the missing number of sequence, which is supposed to be
a permutation of {1,..,n} with one number missing.
"""
x = n
for i in xrange(1, n):
x ^= i
for e in sequence:
x ^= e
return x



扩展问题一：如果其中两个数字丢失了，怎么办？显然，用上述方法不能同时求出两个数。这是否意味着这种巧妙的方法不再适用了？让我们先看一下，用上述方法求出的是什么。

设丢失的两个数字为a和b，那么上述方法求出的结果就是 a XOR b。我们能否利用这个结果呢？答案是YES。因为a != b，那么

a 和 b 的二进制表示形式中一定至少有一位相异。我们可以根据该位把数字分成两组，该位为0的一组和该位为1的一组。两组分别

用上述方法异或，最后两组异或的结果就是 a 和 b。

Python 代码：

def find_missing_2_numbers(sequence, n):
""" returns the missing two numbers of sequence, which is supposed
to be a permutation of {1,..,n} with two numbers missing.
"""
x = n
for i in xrange(1, n):
x ^= i
for e in sequence:
x ^= e
diff = x & (-x) # isolates the rightmost 1-bit
a, b = 0, 0
for i in xrange(1, n + 1):
if i & diff:
a ^= i
else:
b ^= i
for e in sequence:
if e & diff:
a ^= e
else:
b ^= e
return a, b注意在上面的方法中，我们要扫描两遍这个序列。虽然复杂度仍是O(n)，但是在某些特殊情况下，我们可能没有第二次扫描的机会。

那么，能否只扫描一遍就算出结果呢？请看寻找丢失的数字（二）。