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吴文虎图论学习日志——第二章

2012-03-21 15:22 106 查看

最短路径的算法及其应用：

算法有很多，包括上面没有讲到的和讲到的：

SSSP（单源最短路径）：1.标号法 2.Dijkstra(可以用heap优化) 3.Bellman_ford(可以检测负环) 4.SPFA(可以检测负环,还可以继续优化，不过还没学)

所有点对的最短路径：1.可以求N次SSSP 2.Floyd算法

该章提到的应用问题：

1. 求图的中心点：

中心点定义：找出一个顶点，使得其到所有其他的顶点的最短路径的最大值最小。

求法：求出所有顶点对的最短路径，求出每个顶点到其他所有顶点的最短路径的最大值，从中选出最小的那个，用Floyd算法求解，时间复杂度为O(N^3).

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int inf = 0xffffff;
const int MAXN = 110;
#define MIN(a,b) (a)>(b)?(b):(a)
int g[MAXN][MAXN],d[MAXN][MAXN];
void init()
{
memset(g,0,sizeof(g));
}
void Floyd(int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(g[i][j])d[i][j]=g[i][j];
else d[i][j]=inf;
if(i==j)d[i][j]=0;
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
for(int k=0;k<n;k++)
{
d[i][k] = MIN(d[i][k],d[i][j]+d[j][k]);
}
}
}
}
int CenterPoint(int n)
{
int best=inf+1,best_i;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int max = -1;
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(d[i][j]>max)
{
max = d[i][j];
}
}
if(max<best)
{
best = max;
best_i = i;
}
}
return best_i;
}
int main()
{
int n;
init();
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
cin>>g[i][j];
}
}
Floyd(n);
int point = CenterPoint(n);
cout<<point<<endl;
system("pause");
return 0;
}

2.求图的P中心点：

P中心点的定义：记图的顶点集V的一个含有P个元素的子集为S，使得集合V-S中的顶点到S中顶点的最短路径的最大值最小的集合S，就是图的P中心点。

求法：求出所有顶点对的最短路径，枚举S的每一种情况，记录下[b]集合V-S中的顶点到S中顶点的最短路径的最大值，然后从所有的情况中选出最小的种顶点的组
合方式，就是图的P中心点。[/b]

[b] 注意：需要枚举排列，复杂度很高，目前还没有有效算法。[/b]

[b] 代码略。[/b]

[b]3.求图的中央点：[/b]

[b]中央点的定义：记顶点V到其他各顶点的最短距离为d(x)，每前进单位距离需要的代价为k，使得所有的 k*d(x)的和最小的顶点就是图的中央点。[/b]

[b] 求法：求出所有顶点对的最短路径，求出每个顶点到其他所有顶点的（最短路径*代价）的和，选出使得该和最小的顶点，就是图的中央点。用Floyd算法，时
间复杂度为O(N^3).[/b]

[b] 代码（把前面代码的CenterPoint换成该函数即可，这里K取1）[/b]

int ZhongYangPoint(int n)
{
int best = inf,best_i;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int sum = 0;
for(int j=0;j<n;j++)
{
sum+=d[i][j];
}
if(sum<best)
{
best = sum;
best_i = i;
}
}
return best_i;
}

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