算法导论-----数论-----素数测试和pollard整数因子分解

1.素数定理：

=1

2.欧拉定理：对n>1,

=1(modn),对所有a属于

成立

3.费马定理：p素数，,

=1(modp) 对所有a属于

成立

4.若n是素数

=


若n为合数，且

=1(modn)，则n为伪素数

若

=1(modn),则n定为合数

5. 对所有a属于

，满足

=1(modn)合数为carmicheal数

前一亿个数有255个carmicheal数，561,1105,1729

6.Miller-Rabin测试

实验数个a

计算每个模取幂时，注意最后一组平方里若有模n来说1的非平凡平方根，则为合数

注：（2）的原因

p 是奇素数x^2=1(mod p^e)且e>=1,则方程仅有两个解，x=1和x=-1（证明：/article/5975936.html）

逆反命题： 模n存在1的非平凡平方根，n是合数

7.Witness(a,n)为真时，n为合数

8.n>2是一个奇数,n-1=

u,u是奇数，

=

,iß1 to t,

(modn)

WITNESS(a,n)

{

Let n-1=

u,u是奇数

x0= MODULAR-EXPONENTIATION(a,u,n);

for iß1 to t


(modn);

If(xi=1 && xi-1!=1 && xi-1!=n-1)

Return 1;

If(xt!=1)

Return 1;

Return 0;

}

MILLER-RABIN(n,s)

{

for(jß 1 to s)

a=RANDOM(1,n-1)

if WITNESS(a,n)

then return 合数

return 质数

}

9.若n是一个奇合数，n为合数的证据至少为(n-1)/2

10.对任意奇数n>2,和正整数s，MILLER-RABIN(n,s),出错的概率至多为

、

11.整数因子分解

Pollard 的启发式rho 算法

POLLARD-RHO(n)

{

iß1

x1ßRANDOM(0，n-1)

yßx1

kß2

while(1)

{

ißi+1


(modn)

dßgcd(y-xi,n)

if(d!=1 && d!=n)

print d

if(i==k)

y=xi

k=2k

}

}

常量储存空间，可只用一个x，时间复杂度：O(sqrt(n))