数据分析(1)--概率论基础

随机变量的分布及数字特征

1.常见分布

------二项分布



------泊松分布



------概率密度函数

若对于随机变量X的分布函数，存在非负函数f(x),使得对于任意实数X有：



其中f(x)称为X的概率密度函数。

------指数分布



---------正态分布，也称作高斯分布

2.随机变量的数字特征

--------数学期望



----------方差



----------协方差



----------相关系数



------------期望的性质

E(cX)=cE(X)

------------方差的性质

D（cX）=c^2D(X)

3 随机向量

-------联合分布

1.联合分布

X=(X1，X2，....Xp)是p维随机变量，则称



为X的联合分布函数。

----------随机向量X的均值向量

1.随机向量X的均值向量

若E(Xi)=Ui存在，则称



为随机向量X的均值向量

2.随机向量X的协方差阵

若Xi和Xj的协方差Cov(Xi,Xj)存在（i,j=1,2,....p）,则称



为随机向量X的协方差阵。

3.随机向量X和Y的协方差阵

若Xi和Yj的协方差Cov(Xi,Yj)存在（i=1,,,p;j=1,....,q）,则称



为随机向量X和Y的协方差阵，若

COV(X,Y)=O (其中O表示零矩阵)

则称X与Y不相关。

4.中心极限定理

是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。

设随机变量X1, X2,...,Xn独立同分布， 且具有有限的数学期望和方差E(Xi)
= µ，D(Xi) = σ² ≠ 0 (i=1,2,...n)。记


，

，则


其中Φ(z)是标准正态分布的分布函数。

5.大数定律

指数量越多，则其结果就越趋近正态分布，发生误差的机率与数值也会越小。

人们发现，在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。