最大子矩阵问题：

转载自/article/5674749.html最大子矩阵问题：--------->作者讲的非常清楚。

问题描述：(具体见http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1050)

给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。

Example：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

其中左上角的子矩阵：

9 2

-4 1

-1 8

此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。

我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。

怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？
让我们先来看另外的一个问题(最大子段和问题)：

给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n，例如

31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84

子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。

第一种方法－直接穷举法:

maxsofar=0;

for i = 0 to n

{

for j = i to n

{

sum=0;

for k=i to j

sum+=a[k]

if (maxsofar>sum)

maxsofar=sum;

}

}

第二种方法－带记忆的递推法：

cumarr[0]=a[0]

for i=1 to n //首先生成一些部分和

{

cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];

}

maxsofar=0

for i=0 to n

{

for j=i to n //下面通过已有的和递推

{

sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]

if(sum>maxsofar)

maxsofar=sum

}

}

显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。

下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况，(1) 最大子段一直连续到a[j] (2) 以a[j]为起点的子段，不知有没有读者注意到还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。

由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},

所求的最大子断和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。

得出的算法如下：

int maxSubArray(int n,int a[])

{

int b=0,sum=-10000000;

for(int i=0;i<n;i++)

{

if(b>0) b+=a[i];

else b=a[i];

if(b>sum) sum=b;

}

return sum;

}

这就是第三种方法－动态规划。

现在回到我们的最初的最大子矩阵的问题,这个问题与上面所提到的最大子断有什么联系呢？

假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：

| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |

| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |

| . . . . . . . |

| . . . . . . . |

| ar1 …… ari ……arj ……arn |

| . . . . . . . |

| . . . . . . . |

| ak1 …… aki ……akj ……akn |

| . . . . . . . |

| an1 …… ani ……anj ……ann |

那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：

(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)

由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

此题的详细解答如下(Java描述):

import java.util.Scanner;

public class PKU_1050

{

private int maxSubArray(int n,int a[])

{

int b=0,sum=-10000000;

for(int i=0;i<n;i++)

{

if(b>0) b+=a[i];

else b=a[i];

if(b>sum) sum=b;

}

return sum;

}

private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)

{

int i,j,k,max=0,sum=-100000000;

int b[]=new int[101];

for(i=0;i<n;i++)

{

for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]

{

b[k]=0;

}

for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值

{

for(k=0;k<n;k++)

{

b[k]+=array[j][k];

}

max=maxSubArray(k,b);

if(max>sum)

{

sum=max;

}

}

}

return sum;

}

public static void main(String args[])

{

PKU_1050 p=new PKU_1050();

Scanner cin=new Scanner(System.in);

int n=0;

int[][] array=new int[101][101];

while(cin.hasNext())

{

n=cin.nextInt();

for(int i=0;i<n;i++)

{

for(int j=0;j<n;j++)

{

array[i][j]=cin.nextInt();

}

}

System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));

}

}

}

总结：

最大子矩阵和问题

最大子矩阵和其实是最大子段和问题的二维推广.即给定一个m行n列的矩阵,求其一个子矩阵,行数从r1~r2,列数从c1~c2,使之全部元素之和为最大.

我们可以将最大子段和的动态规划解法推广到上述二维情况.其基本思路为,若始行i1与末行i2已给定,则求以i1起始以i2结束的最大子矩阵之和,即等于一个一维的最大子段和问题,只不过这里的数组a中元素a[j]是第j列里从第i1行加到第i2行的所有元素之和. 形象点的话，相当于用移动两条线框出两行（i1到i2），再两条线向中间压缩成一个数，即1~n列数全部相加，共出现n个数，即为新的单数列b，这样就变成求单序列b的最大子序列问题了。

求子矩阵的位置问题，行的位置就是i1和i2，列的位置需要在单序列的最大子序列中求。

显然上述算法的时间复杂度为O(m^2*n). 然而,容易看出,整个问题的解决本质上还是一个一维最大子段和的问题,而在另一个维度--行上面,则还是枚举所有的1<=i1<=i2<=m用打擂的方法比较出最大者.也就是说,此方法仍然只是在列这个维度上用到了动态规划.