最少硬币找零问题

Problem：
Give you the coins, and the total amount of money to change,find a solution for this change which minimize the number of coins needed.

Example:

Coins[] = {1,3,9,10};

Money = 15

Solution[] = {3,3,9}

分析：这道题类似于背包问题，背包问题的思路是，考虑第j个物品装入容量为j的背包中，此时有两只情况，j装得进去，j装不进去，然后推到出动态规划状态转移方程。对于这个问题，我们也可以用相同的思路来思考。

归纳（第一次尝试）：假设已知如何解决money为i-1，硬币种类为j-1的子问题，记为P(i-1,j-1)。

接下来怎么办呢，如何推到出P(i,j)？在这样的归纳基础下面，我们不得不从i-1，j-1归纳出i，j来，也就是说我们在这个过程中同时对两个变量进行了归纳，这样会导致问题变得有些复杂，无从下手。（心得：如果在某一处卡住了，回头看看这个过程是否有漏洞；其次在读读题目，看看是否漏掉一些信息，题目的最终结果是求什么，怎么来表示这个结果。）

归纳（第二次尝试）：假设已知如何解决P(i,j-1)。这个归纳就比上面那个好一些，而且容易思考下一步的问题，因为现在我们只要考虑第j种硬币，从而看看能否推导出P(i,j)。对于第j中硬币，我们有两种策略，一是使用第j种硬币不能使当前结果更优；二是使用第j种硬币能使当前结果更优，下面重点分析第二种情况。

现在问题变为要使用第j种硬币，那么该用多少呢？记Cj= i/j，这是单独使用第j种硬币需要的数量，Vj表示j的面值。接取Cj是最优的吗？怎样证明这样不行？

设Rj = i-Cj*Vj，使用Cj后剩余的money；设Qj= i-(Cj-1)*Vj, 使用Cj-1个硬币后剩余的money此时Qj = Rj + Vj。那么接下来找零Rj使用的硬币一定比找零Qj的硬币少吗？这个不一定，因为Rj相比Qj跟小，这个意味着需要更多的零钱。比如Rj=2，Qj=12，此时都需要两个硬币（1,1和3,9），而最终结果是开始选择Cj-1比选择Cj的少一个。所以在这里，应当全面的考察由1,2,…Cj的情况。

P(i,j-1)=MIN{ P(i,j-1)，P(i-k*Vj,j-1)+k}(k=1,2,…Cj)

参考代码：

有些动态规划的中间结果不需要多维数组来存放，有些情况只需要一维数组即可，知道如何写和自己动手写出来，得到的信息不一样，唯有动手才能体会更多

int leastnums(int coins[], int numcoin,int money)
{
if(numcoin < 1 || money < 0 || coins[0] > money)
return -1;

int *res = new int[money+1];

//初始化，只用第一个硬币
for(int i = 1; i < money+1; ++i)
res[i] = money / coins[0];

for(int j = 1; j < numcoin; ++j)
{
for( int i = coins[j]; i < money+1; ++i)
{
int k = i / coins[j];
if( i%coins[j]==0)
{
res[i] = k;
continue;
}
while(k)
{
int left = i - k*coins[j];
if(res[left]+k < res[i])
res[i] = res[left]+k;
--k;
}
}//end for
}//end for

return res[money];
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int coins[]={1,3,9,10};
int lnum = leastnums(coins,4,22);
return 0;
}

总结：动态规划还可以在优化吗？动态规划有一个变形，叫备忘录法。备忘录法也是用一个表格来保存已解决的子问题的答案，并通过记忆化搜索来避免计算一些不可能到达的状态。其实在写动态规划code过程中，有些地方也可以进行改进和优化，并非没一个动态规划都可以优化。