混合高斯模型（应用和EM算法）

这篇讨论使用期望最大化算法（Expectation-Maximization）来进行密度估计（density estimation）。
与k-means一样，给定的训练样本是

，我们将隐含类别标签用

表示。与k-means的硬指定不同，我们首先认为

是满足一定的概率分布的，这里我们认为满足多项式分布，

，其中

，

有k个值{1,…,k}可以选取。而且我们认为在给定

后，

满足多值高斯分布，即

。由此可以得到联合分布

。

整个模型简单描述为对于每个样例

，我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个

，然后根据

所对应的k个多值高斯分布中的一个生成样例

，。整个过程称作混合高斯模型。注意的是这里的

仍然是隐含随机变量。模型中还有三个变量

和

。最大似然估计为

。对数化后如下：



这个式子的最大值是不能通过前面使用的求导数为0的方法解决的，因为求的结果不是close form。但是假设我们知道了每个样例的

，那么上式可以简化为：



这时候我们再来对

和

进行求导得到：




就是样本类别中

的比率。

是类别为j的样本特征均值，

是类别为j的样例的特征的协方差矩阵。

实际上，当知道

后，最大似然估计就近似于高斯判别分析模型（Gaussian
discriminant analysis model）了。所不同的是GDA中类别y是伯努利分布，而这里的z是多项式分布，还有这里的每个样例都有不同的协方差矩阵，而GDA中认为只有一个。

之前我们是假设给定了

，实际上

是不知道的。那么怎么办呢？考虑之前提到的EM的思想，第一步是猜测隐含类别变量z，第二步是更新其他参数，以获得最大的最大似然估计。用到这里就是：

循环下面步骤，直到收敛： { （E步）对于每一个i和j，计算 （M步），更新参数： }

在E步中，我们将其他参数

看作常量，计算

的后验概率，也就是估计隐含类别变量。估计好后，利用上面的公式重新计算其他参数，计算好后发现最大化最大似然估计时，

值又不对了，需要重新计算，周而复始，直至收敛。


的具体计算公式如下：



这个式子利用了贝叶斯公式。

这里我们使用

代替了前面的

，由简单的0/1值变成了概率值。

对比K-means可以发现，这里使用了“软”指定，为每个样例分配的类别

是有一定的概率的，同时计算量也变大了，每个样例i都要计算属于每一个类别j的概率。与K-means相同的是，结果仍然是局部最优解。对其他参数取不同的初始值进行多次计算不失为一种好方法。

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