曲线论的一些基本概念

2.1 空间曲线的表示与弧长

　　设空间笛卡尔直角坐标系为{O;x,y,z}，而且


a<t<b, (1.1)

　　都是t的连续可微函数,其中实数a和b都不一定是有限的，那么(1.1)就表示了空间的一条连续可微曲线C，简称曲线，而且t是曲线C的参数。反过来，任何一条曲线C，在一定的范围内总可用(1.1)式表示，称它为参数方程。

曲线的参数方程(1.1)常常被写成为向量函数形式


(1.2)

　　在曲线 r=r(t) 上取 t=t0 的一点。如果 r'(t0)≠0，则称它为正则点。当曲线C的所有点都是正则点时，则称曲线C为正则曲线。

　　曲线C的参数方程(1.1)和(1.2)不但依赖于参数的选取，而且还同直角坐标系的选取有关。另一方面，微分几何是研究曲线本身固有的性质，即不依赖于坐标系选取以及参数选取的性质。因此，我们考虑曲线的自然参数。

　　对于正则曲线 r=r(t)，定义


(1.3)

　　为曲线从参数t0的点到t处点的弧长，其中



　　是切向量 dr(t)/dt 的长度。(1.3)式是曲线C内接折线长度的极限。

　　显然，弧长s是t的可微函数，且


(1.4)

　　我们便得到同一曲线以其弧长s为参数的方程


(1.5)

　　通常称弧长参数s为曲线的自然参数。

2.2 主法向量、从法向量与活动标架

　　设曲线C的参数方程是 r=r(s)。C在任一点的单位切向量r'(s)记为T(s)。

　　定义 当 r''(s)≠0 时，向量T'(s)上的单位向量N(s)称为曲线在s处的主法向量。过r(s)以N(s)为方向的直线叫主法线。

　　定义 B(s)=T(s)×N(s)，称B(s)为点r(s)处的单位从法向量。过点r(s)而以B(s)为其方向的直线称为从法线。

　　这样，过曲线C的任何一点r(s)我们就有三个两两正交的单位向量T(s), N(s), B(s)。我们称{r(s); T(s),N(s),B(s)}为曲线在s处的Frenet标架。通过点r(s)且由这点的切向量与主法向量张成的平面，称为曲线在这点的密切平面。通过点r(s)且由切向量与从法向量张成的平面，称为从切平面。通过点r(s)且由主法向量与从从法向量张成的平面称为法平面。

2.4 Frenet公式

　　曲线在每点都有一个Frenet标架，它是单位正交的右旋标架，所以可用它来作新的直角坐标系的标架，并用这个新的直角坐标系来研究曲线在这一点邻近处的性质。

　　我们得到下列被称为曲线论基本公式的Frenet公式，


(4.1)

　　曲线在P0点附近的一点P(s)关于P0点的Frenet标架的坐标可按Taylor级数展开为


(4.4)

　　其中R=(Rz, Ry, Rz)。(4.4)式称为Bouquet公式，或称为曲线在P0的邻域内的局部规范形式。