谁养鱼（二）：如何将排列映射到整数域

今天又考虑了一下谁养鱼的问题，觉得用遗传算法来解题值得一试，但是主要的难点有三：

如何让计算机理解线索？即如何表示绑定、相邻等关系？比如丹麦人喝茶的绑定关系，绿房子在白房子左边的左相邻关系等。
问题空间和遗传空间如何转换？问题空间是红黄蓝绿白这样的排列，如何将其转换成遗传空间的二进制编码？也就是编码问题。
遗传算法如何设计？包括种群规模，初始化，适应度函数，选择、交差、变异算子，终止条件等。

遗传算法本身是很好理解的，今天首先是给出第二个问题的解决办法。

	房子1	房子2	房子3	房子4	房子5
颜色	颜色A	颜色B	颜色C	颜色D	颜色E
国籍
饮料
宠物
香烟

要使用遗传算法，就必须先给出一个问题空间到遗传空间的编码方案。如表所示，五个房子是按顺序摆放的，每个房子都有五种属性：颜色、国籍、饮料、宠物、香烟，房子之间同一种属性都不能重复。以颜色属性这一行为例，在问题空间中，这一行是五种颜色的排列，而在遗传空间中必须转换为二进制编码。易知排列共有5!=120种，而7个bit就可以表示128种状态，所以用1个字节就可以记录下五个房子分别是什么颜色。其它的属性是类似的，因此一共需要五个字节表示所有五个属性的排列。

现在的问题是，如何将颜色的排列一一映射到[0,119]的连续整数空间去呢？或者转换成更一般的形式，对于1，2，3……，n个不同的数，如何将它们的排列一一映射到[0,n!-1]的连续整数空间去，逆映射又如何呢？寻找这个映射f之前，先对映射f做一个限制：映射f应该并不改变数的大小关系。即排列a比排列b小，那么f(a)也比f(b)小。先看n=5的例子。

按照映射的性质，分析右起五位子串，易知：

f(12345) = 0，f(15432) = 1*4!-1 = 23；
f(21345) = 1*4! = 24, f(25431) = 2*4! -1 = 47;
f(31245) = 2*4! = 48, f(35421) = 3*4! -1 = 71;
f(41235) = 3*4! = 72, f(45321) = 4*4! -1 = 95;
f(51234) = 4*4! = 96, f(54321) = 5*4! -1 = 119;

这些等式求出了1xxxx、2xxxx、3xxxx、4xxxx、5xxxx各自的值域。显然，和普通的二进制转换十进制计算一样，这里每一位都是有权值，权值取决于它右边还有多少位，具体就是右边位数的阶乘，但是并不能直接用这一位的值乘以它的权值，需要将它的值转换为它在右起子串中从小到大排第几位再减一。

举个例子32451：3的右边有4位，权值是24，3在右起子串中排第三小，所以是(3-1)*24；2的右边有3位，权值是6，2在右起子串中排第二小，所以是(2-1)*6；4的右边有2位，权值是2，4在右起子串中排第二小，所以是(2-1)*2；5的右边有1位，权值是1，5在右起子串中排第二小，所以是(2-1)*1；将它们加起来就得到f(32451) = (3-1)*24 + (2-1)*6 + (2-1)*2 + (2-1)*1 = 57。

推广到一般情况：

f(a1a2a3……an) = (a1在右起子串的排行 - 1) * (n-1)! + (a2在右起子串的排行 -1) * (n-2)! + …… + (an-1在右起子串的排行 -1)*1 。

注：排行指的是从小到大排在第几位。

有了从问题空间到遗传空间的映射，还需要找出逆映射才行：已知一个[0,119]区间的整数y，求出它代表的是哪一个排列。注意到最右边一位的数字不参与到编码中，所以也不需要参与到解码中，因为所有数字之和是知道的，知道了其余n-1个数字，最后一个数字自然也就知道了。首先必须解一个方程y=24*x1+6*x2+ 2*x3+x4。从映射的算法可以知道，x4只能是0或1，x3只能是0、1、或2，x2只能是0、1、2或3，x1只能是0、1、2、3或4。根据y与2、3、4的模运算就可以求出x1、x2、x3、x4，再将它们全部增一得到在各自右起子串的从小到大排序的位置，但是我们还必须求得它们各自在完整串的从小到大排序的位置。

例如y=57，x4=y%2=1，y=y/2=28；x3=y%3=1，y=y/3=9；x2=y%4=1，y=y/4=2；x1=y=2。x1++；x2++；x3++；x4++。

因为每一位数字的左边都可能存在比它小的数字，所以它们的位置存在一些递增操作，显然最左边的数字就不需要了，它们递增多少取决于它们各自左边存在几个更小的数字。这里利用的最重要的规律是，如果第n位（从左数）数字比第n-1位数字大，那么xn至少等于xn-1，反之则第n位数字比第n-1位数字小。

例如y=57，已经求得x1=3，x2=2，x3=2，x4=2，可知最左边的数是3；x2小于x1，所以第二位数字比第一位数字小不需要递增，第二位数字是2；x3大于或等于x2，所以x3需递增一次，又因为递增一位后x3大于或等于x1，x3再递增一次，最终x3=4，第三位数字是4；x4大于或等于x3（递增前的值），递增，x4+1大于或等于x2，递增，x4+2大于或等于x1，递增，x4=5，第四位数字是5；因为五位数字之和是15，所以最后一个数字是15-3-2-4-5=1。最终解码得到32451，这和例子开始是一致的，编码和解码互相验证了正确性。

package org.fumin.heredity;

/*
* 颜色/国籍/饮料/香烟/宠物，每一种排列的情况5!=120,可用1个字节编码。
* 五个字节能表示一个可能解。
* 此类提供将问题空间映射到遗传空间，以及逆映射的方法
* */
public class Coder {

/*
* 功能：将12345的排列映射到整数域[0,119]
* 思想：
* 每一位数字的权值，是在它之后的数字个数的阶乘，即权值分别为24,6,2,1,0
* 每一位数字的值，是将以它为首的右边数字串以升序排序后，它所在的位置减一。
* 比如3254,排序后是2345，那么“3”的位置是2，它的值就是1。因此类推。
* encode(32415)=2*24+1*6+1*2+0=56
* */
public byte encode(int permutation){
int x1=0,x2=0,x3=0,x4=0;
byte ret=0;
x1 = permutation/10000;
permutation -= 10000*x1;
x2 = permutation/1000;
permutation -= 1000*x2;
x3 = permutation/100;
permutation -= 100*x3;
x4 = permutation/10;

ret += 24*(x1-1);

x2 = x2>x1?x2-1:x2;
x3 = x3>x1?x3-1:x3;
x4 = x4>x1?x4-1:x4;
ret += 6*(x2-1);

x3 = x3>x2?x3-1:x3;
x4 = x4>x2?x4-1:x4;
ret += 2*(x3-1);

x4 = x4>x3?x4-1:x4;
ret+= x4-1;

System.out.printf("%d, ",ret);
return ret;
}

/*
* 功能：将整数域[0,119]映射回12345的排列
* 思想：
* 每一个整数都是根据y=(x1-1)*24+(x2-1)*6+(x3-1)*2+(x4-1)*1计算出来的
* 对y依次取2,3,4模再除以2,3,4就可以得到x1，x2，x3，x4，x5，
* 它们分别代表了各自在排序后子串的位置
*
* */
public int decode(byte gene){
int ret=0;
int x1=0,x2=0,x3=0,x4=0,x5=0;
/*恢复在子串的位置*/
/*gene=24*x1+6*x2+2*x3+1*x4+0*x5;*/
x4=gene%2;
gene/=2;

/*gene=12*x1+3*x2+x3*/
x3=gene%3;
gene/=3;

/*gene=4*x1+x2;*/
x2=gene%4;
gene/=4;

/*gene=x1;*/
x1=gene;

x1++;x2++;x3++;x4++;
/*
* 已获得各自在子串的位置
* 需要求它们分别在完整串的位置
* x1不需要上升位置，它在子串的位置就等于其在完整串的位置
* b2，b3，b4分别记录x2、x3、x4各自需要上升几个位置
* 某个数的位置需要上升几位取决于它左边的数有几个比它小
* */
int b2=0,b3=0,b4=0;

b2+=x2+b2>=x1?1:0;

b3+=x3+b3>=x2?1:0;
b3+=x3+b3>=x1?1:0;

b4+=x4+b4>=x3?1:0;
b4+=x4+b4>=x2?1:0;
b4+=x4+b4>=x1?1:0;

x2+=b2;
x3+=b3;
x4+=b4;
/*x5没有参与code，也就不参与decode*/
x5=15-x1-x2-x3-x4;

ret=x1*10000+x2*1000+x3*100+x4*10+x5;
System.out.printf("%d\n", ret);
return ret;
}

}