最小生成树与最短路径的区别以及实现方法

一 区别

最小生成树能够保证整个拓扑图的所有路径之和最小，但不能保证任意两点之间是最短路径。

最短路径是从一点出发，到达目的地的路径最小。

二 实现方法

1. 最小生成树

最小生成树有两种算法来得到：Prims算法和Kruskal算法。

Kruskal算法：根据边的加权值以递增的方式，一次找出加权值最低的边来构建最小生成树，而且规定：每次添加的边不能造成生成树有回路，知道找到N-1个边为止。

Prims算法：以每次加入一个的临界边来建立最小生成树，直到找到N-1个边为止。其规则为：以开始时生成树的集合（集合U）为起始的定点，然后找出与生成树集合邻接的边（集合V）中，加权值最小的边来建立生成树，为了确定新加入的边不会造成回路，所以每一个新加入的边，只允许有一个顶点在生成树集合中，重复执行此步骤，直到找到N-1个边为止。

下面是一段实现Prims算法的代码：

while(alreadyVisited.size() != Switches.size())
{
Vector neighbors = getNeighborSet(topo, Switches, alreadyVisited);
Vector CostOfNeighbors = new Vector();
int cost = 40000000;
ASwitch srcsw = null, dstsw = null;
for(int i = 0;i < neighbors.size();i++)
{
ASwitch sw1 = (ASwitch)neighbors.get(i);
for(int j = 0;j < alreadyVisited.size();j++)
{
ASwitch sw2 = (ASwitch)alreadyVisited.get(j);
int tempcost = getCost(topo, sw1, sw2, insid, "legacy");
if( (tempcost > 0) && (tempcost < cost ))
{
cost = tempcost;
srcsw = sw1;
dstsw = sw2;
}
}
}//end for neighbors
//得到一个最小花费的邻居
alreadyVisited.add(srcsw);

treenode temptr = new treenode();
temptr.Mac = srcsw.SWName;
current.childlist.push(temptr);
current = temptr;
}//end while

2 最短路径

算法描述

　　(这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的边的权值，d(i)即为最短路径值)

　　1． 置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边)

　　2． 在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转3

　　3． 对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2

　　Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

　　算法具体步骤　

　　（1）初始时，S只包含源点，即S=，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ∞(若u不是v的出边邻接点）。

　　（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

　　（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值为顶点k的距离加上边上的权。

　　（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。
复杂度分析
　　Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2)

　　空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为O(n^2)

下面是一段最短路径算法的代码：

while(Visited.size() != Switches.size())
{
for(int i = 0;i < alreadyVisited.size(); i ++)
{
ASwitch sw1 = (ASwitch)alreadyVisited.get(i);
System.out.println("already visited: "+sw1.SWName);
Vector ng = getNeighbors(topo, Switches, sw1);
alreadyVisited.remove(sw1);
//Visited.add(sw1);
Visited = addtoVector(Visited,sw1);
for(int j = 0;j < ng.size();j++)
{
ASwitch sw2 = (ASwitch)ng.get(j);
if((swValue.get(sw2) == 0) ) continue;
int tempcost = -1;
int tcost = getCost(topo, sw1, sw2, insid, "legacy");;
if(tcost >0 ) tempcost = swValue.get(sw1)+tcost;
if((tempcost > 0) && (tempcost < swValue.get(sw2)))
{
swValue.put(sw2, tempcost);
presw.put(sw2, sw1);
System.out.println("sw: "+sw2.SWName+"   cost: "+tempcost+"   presw: "+sw1.SWName);

alreadyVisited.add(sw2);

}
}
}
}