线段树简介

6.1 线段树简介

线段树的定义如下：
一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该结点表示区间[a,b]。区间的长度b-a记为L。递归定义T[a,b]：
若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为 T的左儿子
[(a+b)div 2,b]为T的右儿子。

若L=1 ：T为一个叶子结点。

表示区间[1, 10]的线段树表示如下：



树一般有两种形式：1、以点为结点。2、以线段为结点。区别如图：上面一个以线段为结点，下面一个以点为结点：





对线段树存在：
定理：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2logL条线段。
这个结论为线段树能在O(logL)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作，提供了理论依据。

对线段树的可以进行扩展。
1. 测度。结点所表示区间中线段覆盖过的长度，存储在各结点中。
2. 独立线段数。区间中互不相交的线段条数。
3. 权和。区间所有元线段的权和。

测度的递推公式如下：
a[j] - a[i] 该结点 Count>0
M = 0 该结点为叶结点且 Count=0
Leftchild ↑ .M + Rightchild ↑ .M 该结点为内部结点且 Count=0连续段数
这里的连续段数指的是区间的并可以分解为多少个独立的区间。如 [1 ， 2] ∪[2，3]∪ [5 ， 6] 可以分解为两个区间[1 ， 3] 与 [5 ， 6] ，则连续段数为 2 。增加一个数据域 Lines_Tree.line 表示该结点的连续段数。 Line 的讨论比较复杂，内部结点不能简单地将左右孩子的 Line 相加。所以再增加 Lines_Tree.lbd 与 Lines_Tree.rbd 域。定义如下：

1 左端点 I 被描述区间盖到

lbd =

0 左端点 I 不被描述区间盖到

1 右端点 J 被描述区间盖到

rbd =

0 右端点 J 不被描述区间盖到

lbd 与 rbd 的实现：

1 该结点 count > 0

lbd = 0 该结点是叶结点且 count = 0

leftchild ↑ .lbd 该结点是内部结点且 Count=0

1 该结点 count > 0

rbd = 0 该结点是叶结点且 count = 0

rightchild ↑ .rbd 该结点是内部结点且 Count=0

有了 lbd 与 rbd ， Line 域就可以定义了：

1 该结点 count > 0

Line = 0 该结点是叶结点且 count =0

Leftchild ↑ .Line + Rightchild ↑.Line - 1 当该结点是内部结点且 Count=0 ， Leftchild ↑ .rbd = 1 且 Rightchild ↑ .lbd = 1

Leftchild ↑.Line + Rightchild ↑ .Line 当该结点是内部结点且 Count=0 ， Leftchild ↑ .rbd 与 Rightchild ↑ .lbd 不都为1

6.2 利用线段树实现区间的动态插入和删除

6.2.1 实例

PKU JudgeOnline, 1151, Atlantis.

6.2.2 问题描述

在二维平面分部着一些矩形，矩形有可能重合。求矩形的总面积。

6.2.3 分析

这个题在《算法艺术与信息学竞赛》中第一章介绍数据结构时，讲到线段树的时候有解题分析。

用线段树来记载纵向上是不是被覆盖，用测度来表示区间中被覆盖了多少长度。

为了降低复杂度，可以将坐标离散化，如下图所示：



从左到右扫描长方形的左侧边和右侧边，如果是左侧边则加入线段树中，否则从线段书中删除。同时用横向扫描的距离乘以线段树的测度，就得到了扫描过了的被覆盖的面积。
本题和PKU JudgeOnline,1117, Picture题都对线段树进行了扩展。本题只用到了测度的扩展，而1117题还用到了独立线段数的扩展。

6.2.4 程序

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//离散化+ 线段树+ 扫描线
//本题与JudgeOnline 1177 picture 极相似,现在回想起来甚至比1177 还要简单一些.与1177 不同的是本题中的坐标是浮点

//类型的故不能将坐标直接离散.我们必须为它们建立一个对应关系,用一个整数去对应一个浮点数

//这样的对应关系在本题的数组y[] 中
#include<iostream>

#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iomanip>
using namespace std;

struct node{
int st, ed,c; //c : 区间被覆盖的层数,m: 区间的测度

double m;
}ST[802];
struct line{
doublex,y1,y2; //纵方向直线, x:直线横坐标, y1 y2:直线上的下面与上面的两个纵坐标

bools; //s = 1: 直线为矩形的左边, s = 0:直线为矩形的右边

}Line[205];
double y[205],ty[205]; //y[] 整数与浮点数的对应数组;ty[]:用来求y[]的辅助数组

void build(int root, int st, int ed){
ST[root].st = st;
ST[root].ed = ed;
ST[root].c = 0;
ST[root].m = 0;
if(ed - st> 1){
int mid= (st+ed)/2;
build(root*2, st, mid);
build(root*2+1, mid, ed);
}
}
inline void updata(int root){
if(ST[root].c> 0)
//将线段树上区间的端点分别映射到y[]数组所对应的浮点数上,由此计算出测度

ST[root].m = y[ST[root].ed-1] -y[ST[root].st-1];
else if(ST[root].ed - ST[root].st == 1)
ST[root].m = 0;
elseST[root].m = ST[root*2].m + ST[root*2+1].m;
}
void insert(int root, int st, int ed){
if(st <=ST[root].st && ST[root].ed <= ed){
ST[root].c++;
updata(root);
return;
}
if(ST[root].ed- ST[root].st == 1)return ;//不出错的话这句话就是冗余的

int mid =(ST[root].ed + ST[root].st)/2;
if(st <mid)
insert(root*2, st, ed);
if(ed >mid)
insert(root*2+1, st, ed);
updata(root);
}
void Delete(int root, int st, int ed){
if(st <=ST[root].st && ST[root].ed <= ed){
ST[root].c--;
updata(root);
return;
}
if(ST[root].ed- ST[root].st == 1)return ; //不出错的话这句话就是冗余的

int mid =(ST[root].st + ST[root].ed)/2;
if(st <mid)
Delete(root*2, st, ed);
if(ed >mid)
Delete(root*2+1, st, ed);
updata(root);
}
int Correspond(int n, double t){
//二分查找出浮点数t 在数组y[]中的位置(此即所谓的映射关系)

intlow,high,mid;
low = 0; high = n-1;
while(low< high){
mid = (low+high)/2;
if(t> y[mid])
low = mid + 1;
elsehigh = mid;
}
returnhigh+1;
}
bool cmp(line l1, line l2){
return l1.x< l2.x;
}

int main()
{
intn,i,num,l,r,c=0;
doublearea,x1,x2,y1,y2;
while(cin>>n,n){
for(i =0; i < n; i++){
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
Line[2*i].x = x1; Line[2*i].y1 =y1; Line[2*i].y2 = y2; Line[2*i].s = 1;
Line[2*i+1].x = x2; Line[2*i+1].y1= y1; Line[2*i+1].y2 = y2; Line[2*i+1].s = 0;
ty[2*i] = y1; ty[2*i+1] = y2;
}
n <<= 1;
sort(Line, Line+n, cmp);
sort(ty, ty+n);
y[0] = ty[0];
//处理数组ty[]使之不含重覆元素,得到新的数组存放到数组y[]中

for(i=num=1;i < n; i++)
if(ty[i]!= ty[i-1])
y[num++] = ty[i];
build(1, 1, num); //树的叶子结点与数组y[]中的元素个数相同,以便建立一一对应的关系

area = 0;
for(i =0; i < n-1; i++){
//由对应关系计算出线段两端在树中的位置

l = Correspond(num, Line[i].y1);
r = Correspond(num, Line[i].y2);
if(Line[i].s)//插入矩形的左边

insert(1, l, r);
else //删除矩形的右边

Delete(1, l, r);
area += ST[1].m * (Line[i+1].x -Line[i].x);
}
cout<<"Testcase #"<<++c<<endl<<"Totalexplored area: ";
cout<<fixed<<setprecision(2)<<area<<endl<<endl;
}
return 0;
}

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int query(int root, intcount)

{
if(count<= ST[root].c){

returnST[root].st;
}else if(ST[root].ed - ST[root].st == 1){

returnST[root].ed;
}
count -= ST[root].c;
if(count<= ST[root*2+1].c){

returnquery(root*2, count);
}else{

returnquery(root*2+1, count);
}
}

int query(int root, intcount)
{
if(count<= ST[root].c){
returnST[root].st;
}else if(ST[root].ed - ST[root].st == 1){
returnST[root].ed;
}
count -= ST[root].c;
if(count<= ST[root*2+1].c){
returnquery(root*2, count);
}else{
returnquery(root*2+1, count);
}
}