桶排序——以线性时间运行的排序方法

 

定义

　　假定：输入是由一个随机过程产生的[0, 1)区间上均匀分布的实数基本思想将区间[0, 1)划分为n个大小相等的子区间（桶），每桶大小1/n：[0, 1/n)， [1/n, 2/n)， [2/n, 3/n)，…，[k/n, (k+1)/n )，…将n个输入元素分配到这些桶中，对桶中元素进行排序，然后依次连接桶输入0 ≤A[1..n] <1辅助数组B[0..n-1]是一指针数组，指向桶（链表）。

算法思想

　　平均情况下桶排序以线性时间运行。像计数排序一样，桶排序也对输入作了某种假设， 因而运行得很快。具体来说，计数排序假设输入是由一个小范围内的整数构成，而桶排序则 假设输入由一个随机过程产生，该过程将元素一致地分布在区间[0，1)上。

　　桶排序的思想就是把区间[0，1)划分成n个相同大小的子区间，或称桶，然后将n个输入数分布到各个桶中去。因为输入数均匀分布在[0，1)上，所以一般不会有很多数落在 一个桶中的情况。为得到结果，先对各个桶中的数进行排序，然后按次序把各桶中的元素列 出来即可。

　　在桶排序算法的代码中，假设输入是个含n个元素的数组A，且每个元素满足0≤ A[i]<1。另外还需要一个辅助数组B[O..n-1]来存放链表实现的桶，并假设可以用某种机制来维护这些表。

　　桶排序的算法如下，其中floor(x)是地板函数，表示不超过x的最大整数。

　　procedure Bin_Sort(var A:List);

　　begin




桶排序算法

1 n:=length(A);

　　2 for i:=1 to n do

　　3 将A[i]插到表B[floor(n*A[i])]中;

　　4 for i:=0 to n-1 do

　　5 用插入排序对表B[i]进行排序;

　　6 将表B[0],B[1],...,B[n-1]按顺序合并;

　　end;

　　右图演示了桶排序作用于有10个数的输入数组上的操作过程。(a)输入数组A[1..10]。(b)在该算法的第5行后的有序表(桶)数组B[0..9]。桶i中存放了区间[i/10，(i+1)/10]上的值。排序输出由表B[O]、B[1]、...、B[9]的按序并置构成。

　　要说明这个算法能正确地工作，看两个元素A[i]和A[j]。如果它们落在同一个桶中，则它们在输出序列中有着正确的相对次序，因为它们所在的桶是采用插入排序的。现假设它们落到不同的桶中，设分别为B[i']和B[j']。不失一般性，假设i' i'=floor(n*A[i])≥floor(n*A[j])=j' 得矛盾 (因为i' 现在来分析算法的运行时间。除第5行外，所有各行在最坏情况的时间都是O(n)。第5行中检查所有桶的时间是O(n)。分析中唯一有趣的部分就在于第5行中插人排序所花的时间。

　　为分析插人排序的时间代价，设ni为表示桶B[i]中元素个数的随机变量。因为插入排序以二次时间运行，故为排序桶B[i]中元素的期望时间为E[O(ni2)]=O(E[ni2])，对各个桶中的所有元素排序的总期望时间为： O(n)

　　(1) 为了求这个和式，要确定每个随机变量ni的分布。我们共有n个元素，n个桶。某个元素落到桶B[i]的概率为l/n，因为每个桶对应于区间[0，1)的l/n。这种情况与投球的例子很类似：有n个球 (元素)和n个盒子 (桶)，每次投球都是独立的，且以概率p=1/n落到任一桶中。这样，ni=k的概率就服从二项分布B(k;n,p)，其期望值为E[ni]=np=1，方差V[ni]=np(1-p)=1-1/n。对任意随机变量X，有:

　　





(2)

　　将这个界用到(1)式上，得出桶排序中的插人排序的期望运行时间为O(n)。因而，整个桶排序的期望运行时间就是线性的。[1]