漫谈经典排序算法:五、线性时间排序(计数、基数、桶排序)

1、序言

这是《漫谈经典排序算法系列》第五篇，给出了三种线性时间排序，分别是计数排序、基数排序、桶排序。

各种排序算法的解析请参考如下：

《漫谈经典排序算法:一、从简单选择排序到堆排序的深度解析》

《漫谈经典排序算法:二、各种插入排序解析及性能比较》

《漫谈经典排序算法:三、冒泡排序 && 快速排序》

《漫谈经典排序算法:四、归并排序》

《漫谈经典排序算法:五、线性时间排序(计数、基数、桶排序)》

《漫谈经典排序算法:六、各种排序算法总结》

注：为了叙述方便，本文以及源代码中均不考虑A[0],默认下标从1开始。

2、计数排序

2.1 引出

前面四篇博客中，所有的排序算法都存在比较，都可以称为”比较排序“。比较排序的下界为o（nlogn）。那么有没有时间复杂度为o（n）的线性时间排序算法呢？计数排序便是很基础的一种线性时间排序，它是基数排序的基础。基本思想是：对每一个元素x，确定小于x的元素个数，就可以把x直接放到它在有序序列中的位置上。过程描述：假设待排序序列a中值的范围[0,k],其中k表示待排序序列中的最大值。首先用一个辅助数组count记录各个值在a中出现的次数，比如count[i]表示i在a中的个数。然后依次改变count中元素值，使count[i]表示a中不大于i的元素个数。然后从后往前扫描a数组，a中的元素根据count中的信息直接放到辅助数组b中。最后把有序序列b复制到a。

2.2 代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

//计数排序,n为数组a的记录个数，k为记录中最大值
void countingSort(int *a,int n,int k)
{
int i;
int *count=(int *)malloc(sizeof(int)*(k+1));
int *b=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
//初始化计数数组count
for(i=0;i<=k;i++)
*(count+i)=0;
//计算等于a[i]的记录个数
for(i=1;i<=n;i++)
(*(count+a[i]))++;
//计算小于等于a[i]的记录个数
for(i=1;i<=k;i++)
*(count+i) += *(count+i-1);
//扫描a数组，把各个元素放在有序序列中相应的位置上
for(i=n;i>=1;i--){
*(b + *(count + a[i]))=a[i];
(*(count+a[i]))--;
}
for(i=1;i<=n;i++)
a[i]=*(b+i);
free(count);
free(b);
}

void main()
{
int i;
int a[7]={0,3,5,8,9,1,2};//不考虑a[0]
countingSort(a,6,9);
for(i=1;i<=6;i++)
printf("%-4d",a[i]);
printf("\n");
}

2.3 效率分析

从代码来看，计数排序有5个for循环，其中三个时间是n，两个时间是k。所以总时间T(3n+2k),时间复杂度o（n+k），不管是在最坏还是最佳情况下，此时间复杂度不变.此外，计数排序是稳定的，辅助空间n+k,这个空间是比较大的，计数排序对待排序序列有约束条件(如前面我们假设待排序序列a中值的范围[0,k],其中k表示待排序序列中的最大值)，元素值需是非负数，k太大的话会大大降低效率。这里要注意的是
“扫描a数组把各个元素放在有序序列相应的位置上” 这步为什么要从后往前扫描a数组呢？大家想一想计数排序的过程就知道，因为从前扫描导致计数排序不稳定，前面说了，计数排序是基数排序的基础，所以它的稳定性直接影响到基数排序的稳定。

3、基数排序

3.1 引出

在计数排序中，当k很大时，时间和空间的开销都会增大（可以想一下对序列{8888,1234,9999}用计数排序，此时不但浪费很多空间，而且时间方面还不如比较排序）。于是可以把待排序记录分解成个位(第一位)、十位(第二位)....然后分别以第一位、第二位...对整个序列进行计数排序。这样的话分解出来的每一位不超过9，即用计数排序序列中最大值是9.

3.2 代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

//计数排序,n为数组a的记录个数，k为记录中最大值，按第d位排序
void countingSort(int *a,int n,int k,int d)
{
int i;
int *count=(int *)malloc(sizeof(int)*(k+1));
int *b=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
//初始化计数数组count
for(i=0;i<=k;i++)
*(count+i)=0;
//计算等于a[i]在d位(a[i]/(int)pow(10,d-1)%10)的记录个数
for(i=1;i<=n;i++)
(*(count+a[i]/(int)pow(10,d-1)%10))++;

//计算小于等于a[i]在d位(a[i]/(int)pow(10,d-1)%10)的记录个数
for(i=1;i<=k;i++)
*(count+i) += *(count+i-1);
//扫描a数组，把各个元素放在有序序列中相应的位置上
for(i=n;i>=1;i--){
*(b + *(count + a[i]/(int)pow(10,d-1)%10))=a[i];
(*(count+a[i]/(int)pow(10,d-1)%10))--;
}
for(i=1;i<=n;i++)
a[i]=*(b+i);
free(count);
free(b);
}

//基数排序,n为数组a的记录个数，每一个记录中有d位数字
void radixSort(int *a,int n,int d)
{
int i;
for(i=1;i<=d;i++){
countingSort(a,6,9,i);
}
}

void main()
{
int i;
int a[7]={0,114,118,152,114,111,132};//不考虑a[0]
radixSort(a,6,3);
for(i=1;i<=6;i++)
printf("%-4d",a[i]);
printf("\n");
}

3.3 效率分析

基数排序时间T(n)=d*(2k+3n),其中d是记录值的位数，(2k+3n)是每一趟计数排序时间，上文分析过了，k不超过9，d的值一般也很小，k、d都可以看成是一个很小的常数，所以时间复杂度o（n）。最坏最佳情况并不改变时间复杂度。基数排序是稳定的。辅助空间同计数排序k+n.

4、桶排序

4.1 引出

同计数排序一样，桶排序也对待排序序列作了假设，桶排序假设序列由一个随机过程产生，该过程将元素均匀而独立地分布在区间[0,1)上。基本思想是：把区间[0,1)划分成n个相同大小的子区间，称为桶。将n个记录分布到各个桶中去。如果有多于一个记录分到同一个桶中，需要进行桶内排序。最后依次把各个桶中的记录列出来记得到有序序列。

4.2 代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

//桶排序
void bucketSort(double* a,int n)
{
//链表结点描述
typedef struct Node{
double key;
struct Node * next;
}Node;
//辅助数组元素描述
typedef struct{
Node * next;
}Head;
int i,j;
Head head[10]={NULL};
Node * p;
Node * q;
Node * node;
for(i=1;i<=n;i++){
node=(Node*)malloc(sizeof(Node));
node->key=a[i];
node->next=NULL;
p = q =head[(int)(a[i]*10)].next;
if(p == NULL){
head[(int)(a[i]*10)].next=node;
continue;
}
while(p){
if(node->key < p->key)
break;
q=p;
p=p->next;
}
if(p == NULL){
q->next=node;
}else{
node->next=p;
q->next=node;
}
}
j=1;
for(i=0;i<10;i++){
p=head[i].next;
while(p){
a[j++]=p->key;
p=p->next;
}
}
}

void main()
{
int i;
double a[13]={0,0.13,0.25,0.18,0.29,0.81,0.52,0.52,0.83,0.52,0.69,0.13,0.16};//不考虑a[0]
bucketSort(a,12);
for(i=1;i<=12;i++)
printf("%-6.2f",a[i]);
printf("\n");
}

4.3 效率分析

当记录在桶中分布均匀时，即每个桶只有一个元素，此时时间复杂度o（n）。因此桶排序适合对很少重复的记录排序。辅助空间2n。桶排序是稳定的排序，实现比较复杂。

5、附录

参考书籍: 《算法导论》