C++常用算法之递归

 在数学中经常用一个函数本身来定义该函数。例如阶乘函数f (n) =n！的定义如下：

    


其中n 为整数。

从该定义中可以看到，当n 小于或等于1时，f (n)的值为1，如f (-3) = f (0) = f (1) =1。当n大于1时，f (n)由递归形式来定义，在定义的右侧也出现了f 。在右侧使用f 并不会导致循环定义，因为右侧f 的参数小于左侧f 的参数。例如，从公式（1 - 1）中可以得到f ( 2 ) = 2f ( 1 )，由于我们已经知道f ( 1 ) = 1，因此f ( 2 ) = 2 * 1 = 2。以此类推，f ( 3 ) = 3f ( 2 ) = 3 * 2 = 6。对于函数f (n) 的一个递归定义（假定是直接递归），要想使它成为一个完整的定义，必须

满足如下条件：
• 定义中必须包含一个基本部分（ b a s e），其中对于n 的一个或多个值，f (n)必须是直接定义的（即非递归）。为简单起见，我们假定基本部分包含了n≤k 的情况，其中k 为常数。（在基本部分中指定n≥k 的情形也是可能的，但较少见。）
• 在递归部分（recursive component）中，右侧所出现的所有f 的参数都必须有一个比n 小，以便重复运用递归部分来改变右侧出现的f ，直至出现f 的基本部分。在公式（1 - 1）中，基本部分是：当n≤1时f (n) = 1；递归部分是f (n) = nf (n- 1 )，其中右侧f的参数为n- 1，比n 要小。重复应用递归部分可把f (n- 1 )变换成对f (n- 2 )，f (n- 3 )，⋯，直到f ( 1 )的调用。下面我们来看一个例子：

 

 -->编写一个递归函数，用来输出n 个元素的所有子集。
a，b 和c 的排列方式有：a b c, a c b, b a c, b c a, cab 和c b a。n 个元素的排列方式共有n ！种。由于采用非递归的C + +函数来输出n 个元素的所有排列方式很困难，所以可以开发一个递归函数来实现。令E= {e1 , ..., en }表示n 个元素的集合，我们的目标是生成该集合的所有排列方式。令Ei 为E中移去元素i 以后所获得的集合，perm (X) 表示集合X 中元素的排列方式，ei . p e r m(X)表示在perm (X) 中的每个排列方式的前面均加上ei
以后所得到的排列方式。例如，如果E= {a, b, c}，那么E1= {b, c}，perm (E1 ) = ( b c, c b)，e1 .perm (E1) = (a b c, a c b)。对于递归的基本部分，采用n = 1。当只有一个元素时，只可能产生一种排列方式，所以perm (E) = ( e)，其中e 是E 中的唯一元素。当n > 1时，perm (E) = e1 .perm (E1 ) +e2 .p e r m(E2 ) +e3.perm (E3) + ⋯ +en .perm (En )。这种递归定义形式是采用n
个perm (X) 来定义perm (E), 其中每个X 包含n- 1个元素。至此，一个完整的递归定义所需要的基本部分和递归部分都已完成。