输入任意一个数，得到1到这个数之间的1的个数

好久没写博客了，忙着面试，现正学习各种算法，今天碰到一个题。就是题目所写的那样，输入任意一个数，得到1到这个数之间的1的个数。比如这个数是12，那么函数f（12）返回的是5（因为中间有5个1）。

另外说明一下，由于个人水平有限，算法的效率有待提高，欢迎高手指点。

function one_ques($num){
$count=0;
$str="";
if($num!=""||$num>=0){
for($i=1;$i<=$num;$i++){
$str.=$i;
}
echo $str;
for($j=0;$j<=strlen($str);$j++){
$str1=substr($str,$j,1);
if($str1==1){
$count++;
}
}
return "从1到".$num."有".$count."个1";
}else{
return false;
}
}
$num=1234;
var_dump(one_ques($num));

当$num=100000000时，代码大概执行了50秒，并且是在修改了30秒运行超时的错误和内存溢出的错误之后，说明代码的问题很大，应该优化php代码。

仔细分析这个问题，给定了N，似乎就可以通过分析"小于N的数在每一位上可能出现 1 的次数"之和来得到这个结果让我们 来分析一下对于一个特定的 N，如何得到一个规律来分析在每一位上所有出现 1 的可能性，并求和得到最后的 f（N）。

先从一些简单的情况开始观察，看看能不能总结出什么规律。

先看 1 位数的情况。

如果 N = 3，那么从 1 到 3 的所有数字：1、2、3，只有个位数字上可能出现 1，而且只出现 1 次，进一步可以发现如果 N 是个位数，如果 N>=1，那么f（N）都等于 1，如果 N=0，则 f（N）为 0。

再看 2 位数的情况。

如果 N=13，那么从 1 到 13 的所有数字：1、2、3、4、5、6、 7、8、9、10、11、12、13，个位和十位的数字上都可能有 1，我 们可以将它们分开来考虑，个位出现 1 的次数有两次：1 和 11，十位出现 1 的次数有 4 次：10、11、12 和 13，所以 f（N）=2+4=6。要注意的是 11 这个数字在十位和个位都出现了 1，但是 11 恰好在个位为 1 和十位为 1 中被计算了两次，所以不用特殊处理，是对的。再考虑 N=23 的情况，它和 N=13 有点不同，十位出现 1 的次数为 10 次，从 10 到 19，个位出现 1 的次数为 1、11 和 21，所以f（N）=3+10=13。通过对两位数进行分析，我们发现，个位数出现 1 的次数不仅和个位数字有关，还和十位数有关：如果 N 的个位数大于等于 1，则个位出现 1 的次数为十位数的数字加 1；如果N 的个位数为 0，则个位出现 1 的次数等于十位数的数字。而十位数上出现 1 的次数不仅和十位数有关，还和个位数有关：如果十位数字等于 1，则十位数上出现 1 的次数为个位数的数字加 1；如果十位数大于 1，则十位数上出现 1 的次数为 10。

f(13) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 2 + 4 = 6；

f(23) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 3 + 10 = 13；

f(33) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 4 + 10 = 14；

...

f(93) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 10 + 10 = 20；

接着分析 3 位数.

如果 N = 123：

个位出现 1 的个数为 13：1, 11, 21, ¼, 91, 101, 111, 121

十位出现 1 的个数为 20：10～19, 110～119

百位出现 1 的个数为 24：100～123

f（23）= 个位出现 1 的个数 + 十位出现 1 的个数 + 百位出现 1 的次数 = 13 + 20 + 24 = 57；

同理我们可以再分析 4 位数、5 位数。读者朋友们可以写一写， 总结一下各种情况有什么不同。

根据上面的一些尝试，下面我们推导出一般情况下，从 N 得到 f（N）的计算方法：

假设 N=abcde，这里 a、b、c、d、e 分别是十进制数 N 的各个数位上的数字.如果要计算百位上出现 1 的次数，它将会受到三个因素的影响：百位上的数字，百位以下（低位）的数字，百位（更高位）以上的数字。

如果百位上的数字为 0，则可以知道，百位上可能出现 1 的次数由更高位决定，比如 12 013，则可以知道百位出现 1 的情况可能是100～199，1100～1 199，2100～2199，¼，11100~11199，一共有 1200 个。也就是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）×当前位数（100）.

如果百位上的数字为 1，则可以知道，百位上可能出现 1 的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，也就是由更高位和低位共同决定。例如对于 12113，受更高位影响，百位出现 1 的情况是 100～199，1100～1199，2100～2199，¼，11100~11199，一共 1200个，和上面第一种情况一样，等于更高位数字（12）×当前位数（100）但是它还受低位影响，百位出现 1 的情况是 12 100～12 113，一共114 个，等于低位数字（123）+1。如果百位上数字大于 1（即为 2~9），则百位上可能出现1的次数也仅由更高位决定，比如 12 213，则百位出现 1 的可能性为：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，¼，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有 1 300 个，并且等于更高位数字+1（12+1） ×当前位数（100）.

通过上面的归纳和总结，我们可以写出如下的更高效算法来计算 f（N）：

function Sum1s($n)
{
$iCount = 0;
$iFactor = 1;
$iLowerNum = 0;
$iCurrNum = 0;
$iHigherNum = 0;

while($n/$iFactor != 0)
{
$iLowerNum = $n - ($n / $iFactor) * $iFactor;
$iCurrNum = ($n / $iFactor) % 10;
$iHigherNum = $n / ($iFactor * 10);

switch($iCurrNum)
{
case 0:
$iCount += $iHigherNum * $iFactor;
break;
case 1:
$iCount += $iHigherNum * $iFactor+$iLowerNum+1;
break;
default:
$iCount += ($iHigherNum + 1) * $iFactor;
break;
}

$iFactor *= 10;
}

return intval($iCount);
}

$n=134;
var_dump(Sum1s($n));

这个函数还有点瑕疵，返回的结果不对貌似，希望高手指点一下。