几何中的和差倍半问题

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．

(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．

(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．





（1）如图1所示，在四边形

中，

=

，

与

相交于点

，

分别是

的中点，联结

，分别交

、

于点

，试判断

的形状，并加以证明；

（2）如图2，在四边形

中，若

，

分别是

的中点，联结FE并延长，分别与

的延长线交于点

，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ；

（3）如图3，在

中，

，点

在

上，

，

分别是

的中点，联结

并延长，与

的延长线交于点

，若

，判断点

与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．





两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．

（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______和位置关系为_____ ；

（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；

（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.





2003年黑龙江省
已知：如图，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG与直线BC相交，易证：

，若：

（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；

（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。