0/1背包问题（动态规划求解）

问题的叙述不多说了，见:http://hi.bccn.net/space-339919-do-blog-id-14722.html。

动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。

比如0/1背包问题。

/* 一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，

它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,

它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.

若每种物品只有一件
求旅行者能获得最大总价值。

输入格式：

M,N

W1,P1

W2,P2

......

输出格式：

X

*/

因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。

测试数据：

10,3

3,4

4,5

5,6

即该段程序完成以下n个阶段：

     1：只装入1个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

     2：装入2个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

     。。。

     n：以此类推，装入n个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

见下表



这个过程在给出来的连接的博客有。

不过，我认为原文叙述的有误，我更改如下：

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3，则里面放1号物体：容量为3价值为4
。这样,这一排背
包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放1号物体
.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最佳方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为2号物体
.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排
c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳
方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

 

java代码实现如下：

package myalgorithm;
import java.util.Scanner;
/**
* 0/1背包问题，动态规划解决
* @author gauss
*
*/
public class Package {
private int value;
private int weight;
public Package(int weight,int value){
this.value = value;
this.weight = weight;
}
public int getValue(){
return this.value;
}
public int getWeight(){
return this.weight;
}
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in = new Scanner(System.in);
int m = in.nextInt();      //包的最大容量；
int n = in.nextInt();      //物体总个数：
Package[] packages = new Package[n + 1];
for (int k = 1; k < n + 1; k ++){
packages[k] = new Package(in.nextInt(),in.nextInt());
}
int[][] DP = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 0; i < n + 1; i ++)
for (int j = 0; j < m + 1; j ++){
DP[i][j] = 0;
}
for (int i = 1; i < n + 1; i ++)
for (int j = 1; j < m + 1; j ++){
if (packages[i].getWeight() <= j){
if (packages[i].getValue() + DP[i - 1][j - packages[i].getWeight()] > DP[i - 1][j]){
DP[i][j] = packages[i].getValue() + DP[i - 1][j - packages[i].getWeight()];
}
}
}
System.out.println(DP
[m]);
}
}

测试及其运行结果：

10 3

3 4

4 5

5 6

11