二叉树漫游——编程技术与技巧总结（上）：递归技术

本系列分三篇文章，分别对二叉树编程中的常用技术和技巧进行了总结。第一篇是关于二叉树编程的递归技术的；第二篇讨论如何将递归程序转化为非递归程序；第三篇讨论二叉树编程的其它方法和技术。

一、 二叉树编程概述

程序 =数据结构+算法。更精确地说，任何程序的功能实现，从技术角度来说，通过选取合适的数据结构和高效的算法即可做到。二叉树是一种非线性数据结构，即每一个元素都可能有0个，1个，或2个后继结点；这使得二叉树编程比线性表编程增加了一些难度；另一方面，由于二叉树具有天然的递归特性，要掌握二叉树编程技术，必须懂得如何用递归来思考问题以及熟练掌握递归程序的编写，这对初学者来说，无疑是一道必须跨越的门槛。

二、递归技术概述

递归技术并不神秘。从方法层面上看，递归技术通过使用相同的方法求解比原问题规模更小的子问题，并合并子问题的解而实现；递归与分治是紧密关联的；从技术手段上看，递归通过相同的函数调用来实现。即有P(n)= P(P(i),P(j), …, P(s),G(1))。

要写出递归程序，其实也并不困难，有三点技巧：A.分析和找出递归的部分； B.确定递归调用的参数形式； C.确定递归结束条件。掌握这些技巧，甚至不用对递归机制作过多了解，就能写出优雅的递归代码。在后面的示例中，会逐渐给出一些相关的方法和技巧。

三、二叉树的递归求解技术

二叉树的递归求解通常可以归纳为以下步骤：

S1： 对根结点求解；

S2： 递归求解左子树；

S3： 递归求解右子树；

S4 : 合并根结点、左子树、右子树的解，进而得到原问题的解。

聪明的读者马上意识到，上述步骤与二叉树的先序遍历非常类似。针对具体的问题，S1,S2, S3 的顺序可能有所变化。

A. 分析和找出递归的部分：

很显然，二叉树根结点的左子树和右子树都是一棵二叉树，因此，可以用相同的策略求解左右子树；这就是可以递归的部分；

B. 确定递归调用的参数形式：

这一点也比较明显，即将二叉树的根结点作为调用参数。根据问题需要，可能会增加一些其它的参数，用于标示当前遍历的深度，要返回的列表等。

C. 确定递归条件。通常，根据应用将根结点需要满足的条件作为递归结束条件。

这里有一个小技巧：你可以先对A/A(B,)/A(,B)/A(B,C)这几种基本的二叉树结构进行分析，以掌握递归程序的行为和机制。

四、示例

（1）二叉树的先序、中序、后序递归遍历。这个是最基本的，请读者自行查阅相关书籍弄懂；

（2）求二叉树的总结点数目。

A. 分析和找出递归的部分：很显然，二叉树的总结点数目 =1 + 左子树的总结点数目 +右子树的总结点数目。 1表示根结点。

B. 递归调用的参数： 二叉树的根结点。

C. 递归结束条件： 根结点为空。

现在，就可以开始写递归程序了。先写递归结束时的情况，再写继续递归的情况。熟练掌握递归程序的编写不是一蹴而就的，多练习就习惯了。

Publicint size(TreeNode root) {
if(root == null) { return 0; }
else{
return1 + size(root.getLChild()) + size(root.getRChild()) ;
}
}

(3)将二叉树所有结点的左右子树交换

初看起来，像是很困难；然而运用递归的思维，很容易就能想到：如果根结点不为空，则交换根结点的左右子树；递归求解左子树；递归求解右子树。于是，可以写出递归程序：

publicvoid swapTree(TreeNode root)

{

if(root != null) {

TreeNodetmp = root.getLChild();

root.setLChild(root.getRChild());

root.setRChild(tmp);

swapTree(root.getLChild());

swapTree(root.getRChild());

}

}

(4)
求二叉树的最长路径（如果有多条，输出其中一条）

这个问题咋看起来，没发现明显可以递归的地方。这时，就需要仔细地分析。首先，二叉树的最长路径必定包括非空根结点；其次，最长路径必定在叶子结点处到达；那么，二叉树的最长路径与其左右子树的最长路径有什么关联呢？可以很容易想到：二叉树的最长路径
=非空根结点
+Max(左子树的最长路径,右子树的最长路径)。这样，就可以整理出思路：

LongestPath(root):

if(root != null) { //
若根结点不为空，则保存在最长路径中

longestPath.add(root);

if(root.getLChild() == null && root.getRChild() == null) {

//到达叶子结点，可以输出路径

returnpath;

}

else{

//递归求解左子树最长路径

leftLongestPath= LongestPath(root.getLChild());

//递归求解右子树最长路径

rightLongestPath= LongestPath(root.getRChild());

if(leftLongestPath.size() >= rightLongestPath.size())

{

//
左子树最长路径大于或等于右子树最长路径，则取左子树最长路径

path.addAll(leftLongestPath);

}

else{

//
否则，取右子树最长路径

path.addAll(rightLongestPath);

}

}

}

由于二叉树的递归求解通常非常简洁，且运行效率也在可接受范围内，因此，有人甚至建议：二叉树的问题求解，首选递归技术。本文从方法层面上讨论了如何编写二叉树的递归程序，这些方法和技巧使得，即使对递归的机制不甚了解，也可以写出非常优雅的递归代码。