算法导论 红黑树加入节点

RB-INSERT-FIXUP:

加入一个新节点时可能出现的问题：

1.被加入节点是红节点，且原红黑树为空，这时只要把节点x涂成黑色即可。

2.被加入的红节点的父节点也是红节点，即z和p[z]都为红色，这就违背了特点4。

问题1可通过算法最后一行解决。问题2是算法主要结局的问题。

问题2分两种情况，p[z]为左子节点，p[z]为右子节点，而对二者是相反的，只需列举一种情况即可。以左节点为例。

p[z]为左子节点分三种情况，在三种情况下，z和p[z]都是红节点。z是新加入的节点，所以z是红节点。Fixup函数只想以前，要检查p[z]的颜色，p[z]=red时，才违背第4个特点（红节点的子节点是黑节点）才需要执行Fixup算法。

情况1：z,p[z],y=right(p[p[z]])=uncle(z)，三者都为红节点，

p[z],uncle(z)涂成黑色，p[p[z]]涂成红色，z移动到p[p[z]]。

情况2：uncle(z)为黑节点，且z是右节点（也就是说z与p[z]不在同一侧），

LEFT-ROTATE(T,p[z])。

情况3：uncle(z)为黑节点，且z是左节点（也就是说z与p[z]在同一侧）

p[z]被涂成黑色，p[p[z]]被涂成红色，然后RIGHT-ROTATE(T,p[p[z]])。

以上在书上都能找到。

算法思想：

先判断p[z]是p[p[z]]的左子节点还是右子节点，分两种情况讨论。每一种情况又分为三个小情况。以p[z]是左子节点为例。

第一种情况是最简单的，更改p[z]和uncle[z]的颜色，再对p[p[z]]重复本算法即可。

遇到第二种情况时，首先要想办法转换为第三种情况，也就是，当uncle[z]为黑色（在第一种情况中是红色），z为右节点时（当p[z]为右结点是，z为右节点时，也就是z与p[z]在不同方向），通过ROTATION，将z与p[z]变换到同一方向上，即情况3。

对于情况三，就好说了。想办法将左子树多余节点移到右子树，以维持平衡，实现二叉树的最小高度。

总而言之，Fixup的作用就是，当红黑树的两边由于节点数量不平衡，要将节点多的一边的节点移动到另一边。后面的Delete函数中涉及到的Fixup的目的亦然。