并查集——学习详解

文章作者：yx_th000 文章来源：Cherish_yimi (http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/) 转载请注明，谢谢合作。
  

 

并查集学习：

l         并查集：(union-find sets)
一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

l         并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：
1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。
2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图
3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图



 
l         并查集的优化
1、Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。
2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。



l         主要代码实现




Code
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int father[MAX];   /**//* father[x]表示x的父节点*/
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int rank[MAX];     /**//* rank[x]表示x的秩*/
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/**//* 初始化集合*/
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void Make_Set(int x)
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{
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    father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化
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    rank[x] = 0;   //根据实际情况初始化秩也有所变化
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}
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/**//* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/
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int Find_Set(int x)
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{
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    if (x != father[x])
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{
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        father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华
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    }
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    return father[x];
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}
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/**//* 
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   按秩合并x,y所在的集合
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   下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化
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   但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。
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*/
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void Union(int x, int y)
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{
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    x = Find_Set(x);
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    y = Find_Set(y);
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    if (x == y) return;
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    if (rank[x] > rank[y]) 
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{
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        father[y] = x;
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    }
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    else
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{
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        if (rank[x] == rank[y])
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{
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            rank[y]++;
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        }
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        father[x] = y;
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    }
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}
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