几种经典排序算法的总结

假期即将结束，用最后这两天温习一下几种经典排序算法，总结一下，如有错误，请不吝指出：

1.基本概念：
1).稳定排序：当待排元素中有相同元素时，排序完后这些相同元素的相对位置与原来一致。
例如『1a，2a，5，4，1b，3，2b』排序完后『1a，1b，2a，2b，3，4，5』
2).原地排序：指排序时只需要使用到固定大小的临时空间，不需要使用与元素个数或元素类型相关大小的额外空间。

2.排序分类：
1).按排序方式分：
插入排序：直接插入排序，希尔排序；
交换排序：快速排序，冒泡排序；
选择排序：直接选择排序，堆排序；
归并排序：归并排序；
分配排序：桶排序，基数排序；
2).按一般平均时间复杂度分：
O(n2)：直接插入排序，冒泡排序，直接选择排序；
O(nlg(n))：快速排序，堆排序，归并排序；
O(n1+a),0<a<1：希尔排序；
O(n)：桶排序，基数排序；

假设待排数组为R[1...n]，类型为简单int型，取值为[1, 100]，从小到大排序。

3.直接插入排序：

3.1基本思想：把数组分为无序区和有序区，从无序区取出一个元素，插入到有序区中。排序开始时，有序区为R[1]，无序区为R[2...n]，选择R[2]，插入到R[1]之前(之后)，此时R[1,2]为有序区，R[3...n]为无序区。继续这个步骤，直到R[1...n]都为有序区，排序完成。

3.2 关键点：查找插入的位置，在查找时，可以利用临时变量保存待排元素，然后依次向后移动比待排元素大的元素，为它留出位置。

3.2 算法分析：原地排序，稳定排序，在待排数组基本有序时比较次数少，效率较好，平均时间复杂度O(n2)。

4.冒泡排序：

4.1基本思想：每一趟“冒泡”过程，通过比较和交换把最大的元素移动到R
。排序开始时，比较R[1]和R[2]，如果R[1] > R[2]，交换R[1]和R[2]，然后比较R[2]和R[3]，如果R[2] < R[3]，继续比较R[3]和R[4]，以此类推到R
，完成第一趟冒泡，此时R
为最大元素。然后开始第二趟从R[1]到R[n-1]的冒泡，第三趟...直到第N-1趟，R[1]肯定是最小元素，排序完成。

4.2关键点：相邻元素的比较与交换，以及最后冒泡的终点为n, n-1, n-2...到2，如果每次都冒泡到n，排序后元素为从大到小。

4.3算法分析：原地排序，稳定排序，在待排数组基本有序时交换少，效率交好，平均时间复杂度O(n2)

5.直接选择排序：

5.1基本思想：同样分为无序区和有序区，每一次选择，都选择当前无序区中最小的元素，并与无序区的第一个元素交换，然后该元素所在位置变为有序区。排序开始时，R[1...n]为无序区，比较所有n个元素，找到最小值R[k]，与R[1]交换，此时R[1]为有序区，R[2...n]为无序区。然后继续在无序区中查找最小元素，直到有序区为R[1...n]，排序完成。

5.2关键点：跟踪记录当前找到的最小元素的值与位置，完成查找后，与无序区的第一个元素交换。

5.3算法分析：原地排序，稳定排序，不管待排数组是否基本有序，算法每次都要比较无序区的所有元素，平均时间复杂度为O(n2)

6.快速排序：

6.1基本思想：分治法的思想，首先选择一个基准元素R[k]（设其排序后的位置为m），然后遍历所有待排元素，将比基准元素小的元素放在其左边R[1...m]，比它大的元素放在其右边R[m+1...n]，形成R[1...m]R[m]R[m+1...n]的布局，然后进一步分别对左，右两边调用快速排序算法进一步排序。

6.2关键点：首先是基准元素的选择，一般选择第一个元素或最后一个元素，也可以使用概率算法随机选择一个元素；其次是数组是否越界的判断，注意在R[1,2]R[3]R[4...n]或R[1...n-3]R[n-2]R[n-1,n]等特殊边界情况下的数据交换和判断，防止越界。

6.3算法分析：目前大家比较喜欢的排序方法，原地排序，稳定排序，当时当待排数据基本有序时，反而效率下降，在最坏情况下时间复杂度达到O(n2)，但可以用概率算法随机化，平均时间复杂度O(nlg(n))

7.堆排序：

7.1基本思想：
将待排数组看成一棵完全二叉树的遍历，即R[1]是树根，R[2]和R[3]是R[1]的孩子，R[4]和R[5]是R[2]的孩子，以此类推，R[1...n]可以构造为一棵完全二叉树。
堆的概念：分为大根堆和小根堆，大根堆R[i] > R[2i]且R[i] > R[2i+1]，小根堆R[i] < R[2i]且R[i] < R[2i+1]，从树的角度看就是大根堆的任意父节点的值，都比其两个孩子节点大，小根堆反之。



算法通过构造大根堆来获得当前最大元素，每次的最大元素都处于R[1]，即树根位置。第一次构造后，当前最大元素处于R[1]，然后交换R[1]与最后一个元素R
。此时R
为有序区，R[1...n-1]为无序区。第二次构造堆从R[1...n-1]中构造，然后交换R[1]和R[n-1]，以此类推。

7.2关键点：每次比较需要从k无序区最后一个元素R[k]到R[2]，分别与各自父节点比较，即R[(k - 1)/2]，并保证R[(k - 1) / 2] > R[k]，从而完成每次的堆构造。


7.3算法分析：原地排序，非稳定排序，堆排序是选择排序的优化，选择排序每次都要比较所有剩余的元素，做了很多重复工作，堆排序在每次构造堆时，都会调整堆，使得后面的构造更加快速，时间复杂度为O(nlg(n))。

8.归并排序：

8.1算法思想（2路归并）：有R[1...m]和R[m+1...n]两个已经排序好的序列，有临时序列T[1...n]，从R[1...m]和R[m+1...n]的开头R[1]和R[m+1]开始，选择较小的元素放入T[1]，如果R[1]较小，则接下来比较R[2]和R[m+1]，选择较小的放入T[2]，以此类推，比较完R[1...m]或R[m+1...n]，最后把另一个未使用完的序列接着放到T[1...n]中。

与快速排序类似，但是归并是自底向上，从相邻的2个元素的排序归并，到相邻的2路共4个元素的归并，最后到2路共n个元素的归并。

8.2关键点：归并时，某一路剩余未归并的元素要接到临时序列的后面。


8.3算法分析：非原地排序，稳定排序，在最后一次归并时空间复杂度为O(n)，时间复杂度为O(nlg(n))

9.希尔排序：

9.1算法思想：按步长分阶段排序。步长为d，将所有距离为d的元素划分为一组，在组内进行插入排序。不断减少d值（可以d/=2），最后在d=1阶段完成后，排序完成。

9.2关键点：步长d最后必须为1，保证所有元素都在同一组，完成排序。注意元素个数无法整除d时，分组边界的判断。

9.3算法分析：原地排序，非稳定排序，是插入排序的优化，每阶段只需完成d次的插入排序，每次数据量为n/d，时间复杂度为 O(n1+a),0<a<1，a跟d的长度选择有关。

10.桶排序：

10.1算法思想：算法适用于已知元素关键值取值范围的数组。设建立100个“桶”，遍历所有元素R[1...n]，当R[k] == v时，把R[k]放入第v个桶，在所有的元素分配完后，从第一个桶到最后一个桶串起来，就是排序好的数组。

10.2关键点：元素关键值取值范围必须知道，否则可能需要无限个“桶”。“桶”可用链表实现，元素R[k]放入“桶”v可实现为R[k]接到链表v的后面。

10.3算法分析：稳定排序，使用链表时，不需要额外空间，但仍需要申请链表头作为“桶”，为非原地排序。只需要遍历分配R[1...n]，然后收集，时间复杂度都为O(n)，因此算法时间复杂度为O(n)

11.基数排序：

11.1算法思想：桶排序的升级，对于有多个关键值类型的元素数组，分别对每种关键值类型进行桶排序。关键字可以是数值，可以是字符串。例如数字排序可以对其个位，十位，百位...都分别进行桶排序，桶个数为数值取值0~9共10个；如果是字符串，可以对其每一位的字符，进行桶排序，桶个数为字符的取值a～z共26个。

11.2关键点：关键值的划分，关系到桶的个数，也关系到所需桶排序的次数。

11.3算法分析：稳定排序，非原地排序，每个关键字的桶排序在n的时间内完成，共有m个关键字，算法时间复杂度为O(m * n)。