幕的奥秘---为什么杨辉三角成立？

就像我在以前的这篇博文
里说的那样，11这个十进制数可以看成ax+b（一元多项式a=1,b=1,x=10）的形式，现在如果有个题目要求你计算11的987654321次方，你该怎么办？

不知你有没有想出解决的方法。我的看法是987654321太大，让我们从1、2、3、4开始吧！

如果让a等于10，b等于1，那么11就等于a + b。下面就以a + b作为例子，讲讲幕的计算。

(a+b)^1 = a + b

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

先撇去变量a和b不讲，只看多项式中的系数，有如下的排布：

一次方： 1  1

二次方： 1  2  1

三次方： 1  3  3  1

四次方： 1  4  6  4  1

要找规律的话，会发现每个多项式的都是以1做开头和结尾；项数为所求幕次+1，例如二次方有3项，三次方有4项；如果观察得更仔细，会发现二次方中间的系数2等于一次方的两个系数，三次方结果的第二个系数3等于二次方结果的第一项系数1加第二项的系数2，四次方的第三个系数6 = 3 + 3，刚好是三次方结果里的第二个系数与第三个系数的和。

于是我猜测，五次方的多项式共有6项，是:

       a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + 1

系数： 1     5       10         10         5       1

好像真猜对了。

“喂，你这个家伙，你还没讲11的987654321次方是多少呢！”

不要急嘛！至少你现在知道怎样得到多项式的系数了。诸位看官不妨想想为什么这样的猜测有理。学校的老师只知道叫我们打印杨辉三角，而不讲这个怎么来的、有什么用。