python 简单图像处理（15） 图像的傅立叶变换

学过信号处理的都应该知道傅立叶变换

把时域上的信号处理为频域上的信号叠加

对于在空间域上的数字图像，我们也能通过傅立叶变换转换为频域类的信号

在实现某些图像处理的时候，频域类的处理比空间域更简单

好啦，我们来看看二维离散信号的傅立叶变换



数字图像的二维离散傅立叶变换所得的结果的频域成分如图所示，左上角是直流成分，变换结果四个角周围对应于低频成分，中央部分对应于高频部分。

为了便于观察，我们常常使直流成分出现在窗口的中央，可采取换位方法，变换后中心为低频，向外是高频



我们来看看具体实例

import cv

def FFT(image,flag = 0):
w = image.width
h = image.height
iTmp = cv.CreateImage((w,h),cv.IPL_DEPTH_32F,1)
cv.Convert(image,iTmp)
iMat = cv.CreateMat(h,w,cv.CV_32FC2)
mFFT = cv.CreateMat(h,w,cv.CV_32FC2)
for i in range(h):
for j in range(w):
if flag == 0:
num = -1 if (i+j)%2 == 1 else 1
else:
num = 1
iMat[i,j] = (iTmp[i,j]*num,0)
cv.DFT(iMat,mFFT,cv.CV_DXT_FORWARD)
return mFFT

def FImage(mat):
w = mat.cols
h = mat.rows
size = (w,h)
iAdd = cv.CreateImage(size,cv.IPL_DEPTH_8U,1)
for i in range(h):
for j in range(w):
iAdd[i,j] = mat[i,j][1]/h + mat[i,j][0]/h
return iAdd

image = cv.LoadImage('lena.jpg',0)
mAfterFFT = FFT(image)
mBeginFFT = FFT(image,1)
iAfter = FImage(mAfterFFT)
iBegin = FImage(mBeginFFT)

cv.ShowImage('image',image)
cv.ShowImage('iAfter',iAfter)
cv.ShowImage('iBegin',iBegin)

cv.WaitKey(0)

这里我们直接用了OpenCV的DFT算法来做傅立叶变换

我们来看看效果吧



中间是没有换位前，后面是换位后

在函数FFT中第二个参数是控制换位的

默认是换位的



按照此式计算，得到的傅立叶变换就是换位后的

现在我们来看看得到的频域图到底有什么用吧

在分析图像信号的频率特性时，对于一幅图像，直流分量表示预想的平均灰度，低频分量代表了大面积背景区域和缓慢变化部分，高频部分代表了它的边缘，细节，跳跃部分以及颗粒噪声

在前面我们实现了图像在空域的模糊和锐化

其实在频域，我们也能方便的实现图像的锐化和模糊

我们截取频率的低频分量，对其作傅立叶反变换，得到的就是模糊后的图像

我们截取频率的高频分量，对其作傅立叶反变换，得到的就是锐化后的图像

我们来编写程序实现

import cv

def FFT(image,flag = 0):
w = image.width
h = image.height
iTmp = cv.CreateImage((w,h),cv.IPL_DEPTH_32F,1)
cv.Convert(image,iTmp)
iMat = cv.CreateMat(h,w,cv.CV_32FC2)
mFFT = cv.CreateMat(h,w,cv.CV_32FC2)
for i in range(h):
for j in range(w):
if flag == 0:
num = -1 if (i+j)%2 == 1 else 1
else:
num = 1
iMat[i,j] = (iTmp[i,j]*num,0)
cv.DFT(iMat,mFFT,cv.CV_DXT_FORWARD)
return mFFT

def IFFT(mat):
mIFFt = cv.CreateMat(mat.rows,mat.cols,cv.CV_32FC2)
cv.DFT(mat,mIFFt,cv.CV_DXT_INVERSE)
return mIFFt

def Restore(mat):
w = mat.cols
h = mat.rows
size = (w,h)
iRestore = cv.CreateImage(size,cv.IPL_DEPTH_8U,1)
for i in range(h):
for j in range(w):
num = -1 if (i+j)%2 == 1 else 1
iRestore[i,j] = mat[i,j][0]*num/(w*h)
return iRestore

def FImage(mat):
w = mat.cols
h = mat.rows
size = (w,h)
# iReal = cv.CreateImage(size,cv.IPL_DEPTH_8U,1)
# iIma = cv.CreateImage(size,cv.IPL_DEPTH_8U,1)
iAdd = cv.CreateImage(size,cv.IPL_DEPTH_8U,1)
for i in range(h):
for j in range(w):
# iReal[i,j] = mat[i,j][0]/h
# iIma[i,j] = mat[i,j][1]/h
iAdd[i,j] = mat[i,j][1]/h + mat[i,j][0]/h
return iAdd

def Filter(mat,flag = 0,num = 10):
mFilter = cv.CreateMat(mat.rows,mat.cols,cv.CV_32FC2)
for i in range(mat.rows):
for j in range(mat.cols):
if flag == 0:
mFilter[i,j] = (0,0)
else:
mFilter[i,j] = mat[i,j]
for i in range(mat.rows/2-num,mat.rows/2+num):
for j in range(mat.cols/2-num,mat.cols/2+num):
if flag == 0:
mFilter[i,j] = mat[i,j]
else:
mFilter[i,j] = (0,0)
return mFilter

image = cv.LoadImage('lena.jpg',0)
mFFT = FFT(image)
mIFFt = IFFT(mFFT)
iAfter = FImage(mFFT)
mLP = Filter(mFFT)
mIFFt1=IFFT(mLP)
iLP = FImage(mLP)
iRestore = Restore(mIFFt1)

mHP = Filter(mFFT,1)
mIFFt2 = IFFT(mHP)
iHP = FImage(mHP)
iRestore2 = Restore(mIFFt2)

cv.ShowImage('image',image)
cv.ShowImage('iAfter',iAfter)
cv.ShowImage('iLP',iLP)
cv.ShowImage('iHP',iHP)
cv.ShowImage('iRestore',iRestore)
cv.ShowImage('iRestore2',iRestore2)

cv.WaitKey(0)

运行效果如下



我们用一个矩形框，把频域最中心的低频部分过滤出来，反变换得到图像模糊后的样子

把频域最中心的高频部分过滤出来，反变换得到图像锐化后的样子

我们来看看一些规则图像的频域图像





那个方形和菱形是随手画的，不是很标准，所以有很多干扰

左边是原图

中间的普通的频率变换

右边的是对其进行对数扩展后的结果。在前面的灰度变换中，我们已经讲过了灰度变换

好了，关于简单的图像的傅立叶变换，我们就做到这里