[摘记]数值方法02——内插法和外推法

注：以下来自《C++数值算法一书》，仅对章节内容做摘要，为的是给自己扫盲，不涉及算法。

画一条通过xi的平滑曲线，对任意的x估算f(x)的值。如果所求的x处于xi的最大值与最小值之间，则称之为内插法，如果x超出此范围则称为外推法。内插法与函数逼近有关，但逼近的任务是用一个近似且简单的函数取代原来较复杂的函数，内插法是要在不由自己选择的点上给出函数f的值。

1. 多项式内插法和外推法

通过N个点的N-1维内插多项式，可用拉格朗日经典公式明确地表示出来。但这种方法没有给出误差估计并且不适合编程，一个比较好的方法是Newille算法。

2. 有理函数内插法和外推法

有些函数用多项式近似效果不好，但用有理函数，即多项式的商来估计效果却很好。它们能够模拟具有极点的函数，即使函数分母为0的点。对于有理函数，有一种Neville型的算法，叫Bulirsch-Stoer算法。

3. 三次样条插值

三次样条插值的目的是得到一个内插公式，不论在区间内亦或其边界上，其一阶导数平滑，二阶导数连续。原始函数在相邻点的区间内，是线性插值的，即这是一个分段线性函数。加上了上面的约束（边界上二阶导数连续）后，生成的新的插值函数

。

4. 插值多项式的系数

有时想要知道的并非是经过少数几个点的插值多项式的函数值，而是该多项式的系数。则用插值法并不是一个好的方法。

5. 二维或高维插值

对网格的插值之类的，最简单的方法是双线性插值，其他方法有双三次插值、双三次样条等，这两种都是通过更高的阶获得高平滑度的方法。

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