关于逆序数和置换奇偶性质的问题分析

先来看几个基本定义：



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请注意下面的例子：





1.我的问题是：这里的A3中的每个成员转化为对换的话，其对换的个数必为偶数。

比如，（1）的逆序数为0，为偶数；

（123）的逆序数为0，为偶数；

（132）的逆序数为1，为奇数啊？？？？？不符合定理17.18啊

答：问题属于概念理解错误类。下面来看分析：

按定理17.18，(1)的排列是（123），逆序数为0；

（123）的排列是（231），逆序数为2；其对换：（123）=(13)(12)

（132）的排列是（321），逆序数为2。其对换：（132）=(12)(13)

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2.先看基本定义：





我的问题是，此处的i是什么？

答：在求逆序序列的过程中，i在两个地方出现了。首先，i作为b的下标出现时，是表示bi在逆序序列中的位置.那么这个bi的值根据什么得来的呢？是这么来的，我们来看，i作为置换中出现的元素，值为i的元素（置换中）的右侧小于i值的元素有x个(必有x<i),那么bi=x。说明完毕。

再来性质下的具体实例：





我的问题是：如何产生出的该逆序序列？

答：操作如下(根据求bi的顺序不同可以大致有2种思路，这里仅说一种以供参考，另一种思路类似可得)：

思路一：根据置换直接顺序填写逆序序列表(即顺序填b1,b2,……bn)

1.当i=1,1作为置换中元素时，其右边没有小于1的元素，于是 b1=0,填写在逆序序列表中的第一个位置；

2.当i=2,2作为置换中元素时，其右边没有小于2的元素，于是

b2=0，填写在逆序序列表中的第二个位置；

3. 当i=3,3作为置换中元素时，其右边有2个小于3的元素（1和2），于是b3=2，填写在逆序序列表的第三个位

置；

4.当i=4,4作为置换中元素时，其右边没有小于4的元素，于是 b4=0,填写在逆序序列表中的第四个位置；

5. 当i=5, 5作为置换中元素时，其右边有2个小于5的元素（2和4），于是 b5=0,填写在逆序序列表中的第五个位置；

……

以此类推，把逆序序列表填写完成。

特此非常感谢燕燕的鼓励和帮助！