二叉查找树（Binary Search Tree）相关操作

二叉查找树（Binary Search Tree），或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

2.
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

3. 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列
可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入
操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，O(log(n)).

二叉排序树的查找算法

在二叉排序树b中查找x的过程为：

若b是空树，则搜索失败，否则：

若x等于b的根结点的数据域之值，则查找成功；否则：

若x小于b的根结点的数据域之值，则搜索
左子树；否则：

查找右子树。

在二叉排序树插入结点的算法

向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为：

若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则：

若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则：

若
s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：

把s所指结点插入到右子树中。

在二叉排序树
删除结点的算法

在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：

若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。

右*p
结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。

若*p结点的
左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f
的左子树，*s为*f左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它
的直接前驱（或直接后继）。

二叉排序树性能分析

每个结点的Ci为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排
序树蜕变为单支树，树的深度为n，其平均查找长度为(n+1)/2(和顺序查找相同)，最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找
长度和log2n成正比(O(log2n))。

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

struct Node

...{

int key;//结点值

struct Node
*parent;//父结点

struct Node *left;//左结点

struct Node
*right;//右结点

};

//打印二叉树

void PrintTree(struct Node *Root)

...{

struct
Node *pointer=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

pointer=Root;

if(pointer!=NULL)

...{

PrintTree(pointer->left);

printf("%d ",pointer->key);

PrintTree(pointer->right);

}

}

//删除树，递归释放树的结点

void DeleteTree(struct Node *Root)

...{

struct Node *pointer=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

pointer=Root;

if(pointer!=NULL)

...{

DeleteTree(pointer->left);

free(pointer);

DeleteTree(pointer->right);

}

}

//最小值

struct Node *Minimum(struct Node *Root)

...{

struct Node *pointer=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

pointer=Root;

while(pointer->left!=NULL)

pointer=pointer->left;

return pointer;

}

//最大值

struct Node *Maximum(struct Node *Root)

...{

struct Node *pointer=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

pointer=Root;

while(pointer->right!=NULL)

pointer=pointer->right;

return pointer;

}

//查找

struct Node *Search(struct Node *Root,int value)

...{

struct Node *pointer=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

pointer=Root;

while(pointer!=NULL&&pointer->key!=value)

...{

//如果查找值比结点值小，查找它的左子树

if(value<pointer->key)

pointer=pointer->left;

else

pointer=pointer->right;//如果查找值比结点值大，查找它的右子树

}

return pointer;

}

//后继

struct Node *Successor(struct Node *pointer)

...{

if(pointer->right!=NULL)

return
Minimum(pointer->right);

struct Node *y=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

y=pointer->parent;

while(y!=NULL&&y->right==pointer)

...{

pointer=y;

y=pointer->parent;

}

return y;

}

//前驱

struct Node *Predecessor(struct Node *pointer)

...{

if(pointer->left!=NULL)

return Maximum(pointer->left);

struct Node *y=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

y=pointer->parent;

while(y!=NULL&&y->left==pointer)

...{

pointer=y;

y=pointer->parent;

}

return y;

}

//插入新结点

struct Node *Insert(struct Node *Root,struct Node
*newNode)

...{

struct Node *back=(struct
Node*)malloc(sizeof(struct Node));

struct Node *pointer=(struct
Node*)malloc(sizeof(struct Node));

back=NULL;

pointer=Root;

//找到要插入的位置

while(pointer!=NULL)

...{

back=pointer;

if(newNode->key<pointer->key)

pointer=pointer->left;

else

pointer=pointer->right;

}

//新结点的Parent指针先指向父结点

newNode->parent=back;

if(back==NULL)

Root=newNode;//树为空，新结点成为树根

else

...{

if(newNode->key<back->key)

back->left=newNode;

else

back->right=newNode;

}

return Root;

}

//删除结点

struct Node *Delete(struct Node *Root,struct Node *pointer)

...{

struct Node *y=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

y->parent=NULL;

y->left=NULL;

y->right=NULL;

//找到实际要删除的结点

if(pointer->left==NULL||pointer->right==NULL)

y=pointer;

else

y=Successor(pointer);

struct Node *x=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

x->parent=NULL;

x->left=NULL;

x->right=NULL;

//要删除结点的子结点

if(y->left!=NULL)

x=y->left;

else

x=y->right;

if(x!=NULL)

x->parent=y->parent;

if(y->parent==NULL)

Root=x;//删除的是根结点

else

...{

if(y==y->parent->left)

y->parent->left=x;

else

y->parent->right=x;

}

if(y!=pointer)

pointer->key=y->key;

if(y!=NULL)

...{

free(y);

printf("Delete success! ");

}

else

printf("Delete failure! ");

return Root;

}

int main()

...{

struct Node *Root=NULL;

int value;

int flag=1;

while(flag)

...{

printf("1:Insert ");

printf("2:Delete ");

printf("3:Search ");

printf("4:Minimum ");

printf("5:Maximum ");

printf("6:Successor ");

printf("7:Predecessor ");

printf("0:Exit ");

printf("Please input your choice:");

scanf("%d",&flag);

switch(flag)

...{

case 0:

return 0;

case 1:

...{

printf("Please input the value you want to input:");

scanf("%d",&value);

struct Node *newNode=(struct
Node*)malloc(sizeof(struct Node));

newNode->key=value;

newNode->parent=NULL;

newNode->left=NULL;

newNode->right=NULL;

Root=Insert(Root,newNode);

break;

}

case 2:

...{

printf("Please input the value
you want to delete:");

scanf("%d",&value);

struct Node *newNode=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

newNode=Search(Root,value);

if(newNode!=NULL)

Root=Delete(Root,newNode);

else

printf("%d does'n exist in this tree! ",value);

break;

}

case 3:

...{

printf("Please
input the value you want to input:");

scanf("%d",&value);

struct Node *newNode=(struct
Node*)malloc(sizeof(struct Node));

newNode=Search(Root,value);

if(newNode!=NULL)

printf("%d exist in this tree! ",newNode->key);

else

printf("%d does'n exist in this tree! ",value);

break;

}

case 4:

...{

if(Root!=NULL)

...{

struct Node
*newNode=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

newNode=Minimum(Root);

printf("The minimum value of
this tree is %d! ",newNode->key);

}

else

printf("This tree is empty! ");

break;

}

case 5:

...{

if(Root!=NULL)

...{

struct Node
*newNode=(struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));

newNode=Maximum(Root);

printf("The Maximum value of
this tree is %d! ",newNode->key);

}

else

printf("This tree is empty! ");

break;

}

case 6:

...{

printf("Please input the value:");

scanf("%d",&value);

struct Node *newNode=(struct
Node*)malloc(sizeof(struct Node));

newNode=Search(Root,value);

if(newNode!=NULL)

...{

newNode=Successor(newNode);

if(newNode!=NULL)

printf("%d's successor is %d!
",value,newNode->key);

else

printf("%d has't successor int this tree! ",value);

}

else

printf("%d does'n exist in this tree! ",value);

break;

}

case 7:

...{

printf("Please input the value:");

scanf("%d",&value);

struct Node *newNode=(struct
Node*)malloc(sizeof(struct Node));

newNode=Search(Root,value);

if(newNode!=NULL)

...{

newNode=Predecessor(newNode);

if(newNode!=NULL)

printf("%d's Predecessor is
%d! ",value,newNode->key);

else

printf("%d has't predecessor int this tree! ",value);

}

else

printf("%d does'n exist in this tree! ",value);

break;

}

default:

break;

}

PrintTree(Root);

}

DeleteTree(Root);

return 0;

}