direct学习笔记-数学基础

以下的大部分内容来源于Introduction.To.Direct3D9中文版（翁云兵版），《3D图形与数学基础》和网上的一些资料，本人根据这些内容作了一些笔记。

1.数学基础

1.1坐标系

坐标系主要分2种，左手坐标系和右手坐标系。

左手坐标系



右手坐标系



注：directx3d使用左手坐标系，opengl使用右手坐标系。

1.2向量

既有大小又有方向的量叫做向量 ，向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 长度为单位1的向量，叫做单位向量．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。

3维向量：

头文件：D3dx9math.h

typedef struct D3DXVECTOR3 {

FLOAT x;

FLOAT y;

FLOAT z;

} D3DXVECTOR3, *LPD3DXVECTOR3;

1.2.1计算向量的值
头文件：D3dx9math.h
FLOAT D3DXVec3Length(
__in const D3DXVECTOR3 *pVa
);

1.2.2规范化向量让向量为1.



调用的函数为：

头文件：D3dx9math.h
D3DXVECTOR3 * D3DXVec3Normalize(
__inout D3DXVECTOR3 *pOut,
__in const D3DXVECTOR3 *pV
);
1.2.3向量点乘dot product

点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。
向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>,当|a|,|b|皆不为0时，cos<a,b>为0 也即向量a与向量b互相垂直。
要实现点乘，调用的函数为
头文件：D3dx9math.h
FLOAT D3DXVec3Dot(
__in const D3DXVECTOR3 *pV1,
__in const D3DXVECTOR3 *pV2
);

1.2.4叉乘 cross product
叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。
向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 　　向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。
头文件：D3dx9math.h
D3DXVECTOR3 * D3DXVec3Cross(
__inout D3DXVECTOR3 *pOut,
__in const D3DXVECTOR3 *pV1,
__in const D3DXVECTOR3 *pV2);

1.3矩阵

由mn个数排成的m行n列的矩形表



称为m×n矩阵,记作A或

,也可记作(αij)或

。数

称为矩阵的第i行第j列的元素。

direct3d中表示矩阵的结构：

typedef struct D3DXMATRIX {
FLOAT _ij;
} D3DXMATRIX, *LPD3DXMATRIX;

1.3.2 下面是矩阵的几种常用运算的函数。
矩阵转置：
D3DXMATRIX * D3DXMatrixTranspose(
__inout D3DXMATRIX *pOut,
__in const D3DXMATRIX *pM
);
D3DXMatrixTranspose(&B,&A)
B= D3DXMatrixTranspose(&B,&A)
矩阵求逆：
D3DXMATRIX * D3DXMatrixInverse(
__inout D3DXMATRIX *pOut,
__inout FLOAT *pDeterminant,
__in const D3DXMATRIX *pM
);
第二个参数可以忽略。
转为单位矩阵：
D3DXMATRIX * D3DXMatrixIdentity(
__inout D3DXMATRIX *pOut
);
1.3.3 行向量和列向量

矩阵的行数和列数可以是任意正整数，当然也包括 1。

一个n 维向量能被当作 1 x n 矩阵或 n x 1 矩阵。1 x n 矩阵称作行向量，n x 1 矩阵称作列向量。行向量平着写，列向量竖着写。对于向量来说，转置将使行向量变成列向量，使列向量成为行向量.
一个 r x n 矩阵A 能够乘以一个n x c 矩阵B，结果是一个 r x c 矩阵，记作AB。矩阵乘法计算如下：记r x n 矩阵A 与n x c 矩阵B 的积r x c 矩阵 AB 为C。 C的任意元素 Cij等于A 的第i 行向量与B 的第j列向量的点乘结果。
向量在几何上能被解释成一系列与轴平行的位移，一般来说，任意向量 v 都能写成“扩展”形式：



将p、q、r 定义为指向+x，+y 和+z 方向的单位向量，如下所示：
v = xp + yq + zr
现在，向量 v 就被表示成向量p，q，r 的线性变换了，向量p，q，r称作基向量。这里基向量是笛卡尔坐标轴，但事实上，一个坐标系能用任意 3
个基向量定义，当然这三个基向量要线性无关（也就是不在同一平面上）。以 p、q、r 为行构建一个3 x 3 矩阵M，可得到如下矩阵:



用一个向量乘以该矩阵，得到：

基向量[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]乘以任意矩阵 M：
用基向量[1, 0, 0]乘以M 时，结果是M 的第1行。其他两行也有同样的结果即：矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。
因此可以得到：
1、有了一种简单的方法来形象化解释矩阵所代表的变换。
2、有了反向建立矩阵的可能 ---- 给出一个期望的变换（如旋转、缩放等），能够构造一个矩阵代表此变换。我们所要做的一切就是计算基向量的变换，然后将变换后的基向量填入矩阵。
包含平移的线性变换称作仿射变换，3D 中的仿射变换不能用 3 x 3 矩阵表达，必须使用 4 x 4矩阵。



1.3.4变换矩阵
在线性代数中，线性变换能够用矩阵表示。如果T是一个把R映射到R的线性变换，且x是一个具有n个元素的列向量 。　

那么我们把m×n的矩阵A，称为T的变换矩阵

一般来说，变换物体相当于以相反的量变换描述这个物体的坐标系。当有多个变换时，则需要以相反的顺序变换相反的量。例如，将物体顺时针旋转20度，扩大 200%，等价于将坐标系缩小 200%，再逆时针旋转20度。

1.3.4.1平移矩阵：
可以把向量（x,y,z,1）分别平移x+px，y+py，z+pz



平移函数：

D3DXMATRIX * D3DXMatrixTranslation(
__inout D3DXMATRIX *pOut,
__in FLOAT x,
__in FLOAT y,
__in FLOAT z
);

1.3.4.2旋转矩阵（俯视原点是角度是顺时针方向的角度）

绕x轴旋转



绕y轴旋转



绕z轴旋转



旋转函数：

D3DXMATRIX * D3DXMatrixRotationX(
__inout D3DXMATRIX *pOut,
__in FLOAT Angle
);
D3DXMATRIX * D3DXMatrixRotationY(
__inout D3DXMATRIX *pOut,
__in FLOAT Angle
);
D3DXMATRIX * D3DXMatrixRotationZ(
__inout D3DXMATRIX *pOut,
__in FLOAT Angle
);
1.3.4.3缩放矩阵



缩放矩阵求逆：



D3DXMATRIX * D3DXMatrixScaling(
__inout D3DXMATRIX *pOut,
__in FLOAT sx,
__in FLOAT sy,
__in FLOAT sz
);

综合变换：
多种变换一起使用时，可以先把各种变换矩阵乘起来得到的矩阵就是综合变换的矩阵。这样可以减少矩阵的相乘数。

1.4 面

平面（plane）

一个平面可以由一个法向量n和一个点p来描述，假设p1，p2是平面上的任意两个点，则有n(p1-p2)=0
又有：
N*p+d=0



D3D的平面
typedef struct D3DXPLANE
{
#ifdef __cplusplus
public:
D3DXPLANE() {}
D3DXPLANE( CONST FLOAT* );
D3DXPLANE( CONST D3DXFLOAT16* );
D3DXPLANE( FLOAT a, FLOAT b, FLOAT c, FLOAT d );

// casting
operator FLOAT* ();
operator CONST FLOAT* () const;

// assignment operators
D3DXPLANE& operator *= ( FLOAT );
D3DXPLANE& operator /= ( FLOAT );

// unary operators
D3DXPLANE operator + () const;
D3DXPLANE operator - () const;

// binary operators
D3DXPLANE operator * ( FLOAT ) const;
D3DXPLANE operator / ( FLOAT ) const;

friend D3DXPLANE operator * ( FLOAT, CONST D3DXPLANE& );

BOOL operator == ( CONST D3DXPLANE& ) const;
BOOL operator != ( CONST D3DXPLANE& ) const;

#endif //__cplusplus
FLOAT a, b, c, d;
} D3DXPLANE, *LPD3DXPLANE;

创建平面：
1）1个点和一个法向量确定一个平面
D3DXPLANE * D3DXPlaneFromPointNormal(
__inout D3DXPLANE *pOut,
__in const D3DXVECTOR3 *pPoint,
__in const D3DXVECTOR3 *pNormal
);
2）3个点确定一个平面
D3DXPLANE * D3DXPlaneFromPoints(
__inout D3DXPLANE *pOut,
__in const D3DXVECTOR3 *pV1,
__in const D3DXVECTOR3 *pV2,
__in const D3DXVECTOR3 *pV3
);