0-1背包问题（C++）

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，问题定义如下：有n个物品，其重量分别为W={w1, w1, w3, ... wn}，其价值分别为V={v1, v2, v3, .. vn}。现在要将这N个物品放入允许的最大重量为w的包中，问怎样选择物品能使包中的物品总价值最大。

可以将背包问题划分成若干个子问题，关键在于如何对问题进行划分。现在将问题表述为在重量限制为w的情况下，求对前N个物品进行选择能得到的最大价值，即v[n, w]。对于一个物品i，求v[i, w']时有两种情况可供选择：若选中物品i，则所得的最大价值为v[i-1, w'-wi]+vi；若不选中物品i，则所得的最大价值为v[i-1, w']。选择二者之间的较大值即可求出最优解。因此，子问题可以分解成两个更小的子问题。

解决0-1背包问题的C++代码如下所示， 代码中用到了boost库中的multi_array：




0-1背包问题
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#include <iostream>
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#include <boost/multi_array.hpp>
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using namespace std;
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// 动态规划解决0-1背包问题
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void Knapsack(int weightArray[], int valueArray[], size_t length, int totalWeight)
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{
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// 价值表
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boost::multi_array<int, 2> valueTable(boost::extents[length + 1][totalWeight + 1]);
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// 选择表
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boost::multi_array<bool, 2> selectionTable(boost::extents[length + 1][totalWeight + 1]);
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// 初始化前0个物品的最大价值为0
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for (size_t itemIdx = 0; itemIdx <= length; ++itemIdx)
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{
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valueTable[itemIdx][0] = 0;
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}
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// 初始化允许重量为0是的最大价值为0
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for (int weightIdx = 0; weightIdx <= totalWeight; ++weightIdx)
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{
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valueTable[0][weightIdx] = 0;
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}
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// 从底层开始填写价值表和选择表
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for (size_t itemIdx = 1; itemIdx <= length; ++itemIdx)
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{
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for (int weightIdx = 1; weightIdx <= totalWeight; ++weightIdx)
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{
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// 先计算不选择当前物品时的最大价值
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int valueUnselected = valueTable[itemIdx - 1][weightIdx];
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// 允许的重量需大于等于当前物品的重量，否则当前物品不可选
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if (weightIdx >= weightArray[itemIdx - 1])
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{
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// 计算选择当前物品时的最大价值
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int valueSelected = valueArray[itemIdx - 1] +
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valueTable[itemIdx - 1][weightIdx - weightArray[itemIdx - 1]];
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// 若选择当前物品时所得到的最大价值大于不选择时的最大价值，
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// 则选择当前物品，并进行下一次循环
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if (valueSelected >= valueUnselected)
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{
41

valueTable[itemIdx][weightIdx] = valueSelected;
42

selectionTable[itemIdx][weightIdx] = true;
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continue;
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}
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}
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// 处理不选择当前物品的情况
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valueTable[itemIdx][weightIdx] = valueUnselected;
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selectionTable[itemIdx][weightIdx] = false;
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}
51

}
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// 打印最大值以及被选中的物品编号
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cout << "最大价值为：" << valueTable[length][totalWeight] << endl;
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cout << "以下编号的物品被选中：";
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for (size_t itemIdx = length, weightIdx = totalWeight; itemIdx > 0; --itemIdx)
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{
58

if (selectionTable[itemIdx][weightIdx])
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{
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cout << itemIdx << " ";
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weightIdx -= weightArray[itemIdx - 1];
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}
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}
64

cout << endl;
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}
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int main()
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{
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int weights[] =

{1, 2, 3, 2, 2};
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int values[] =

{8, 4, 0, 5, 3};
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int totalWeight = 4;
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Knapsack(weights, values, sizeof(weights) / sizeof(int), totalWeight);
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return 0;
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}