输出指定范围内的所有质数

#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;

void printPrimeUpTo(std::ostream& os,int upper);
int getDigitNum(int upper);

int main(void) {
ofstream outfile("prime.txt");
if(!outfile) {
cerr << "can not open output file" << endl;
return -1;
}
printPrimeUpTo(outfile, 999);
return 0;
}

int getDigitNum(int upper) {
upper = abs(upper);
int num = 0;
do {
++num;
upper /= 10;
} while(upper);
return num;
}

void printPrimeUpTo(std::ostream& os, int upper) {
if(upper < 2)
return;
int size = upper - 1;
bool *t = new bool[size];
for(int i = 0; i != size; ++i)
t[i] = true;
int index = 0, p;
while(true) {
while(!t[index]) ++index;
p = index + 2;
if(p * p > upper)
break;

int j = 2, mul;
while(true) {
mul = p * j;
if(mul > upper)
break;
t[mul - 2] = false;
++j;
}
++index;
}
int cnt = 0, blank = getDigitNum(upper) + 1;
for(int i = 0; i != size; ++i) {
if(t[i]) {
++cnt;
os << setw(blank) << i + 2;
if(cnt % 10 == 0)
os << std::endl;
}
}
os << std::endl;
delete [] t;
}

以上程序输出所有不大于999的质数，产生格式化输出。程序采用筛选的思想对指定范围内的所有正整数进行排除，最后得以"幸存"的全部都为质数。该算法思想详见维基百科Sieve of Eratosthenes
相关条目。需要注意的是以上C++实现中的外层循环只用进行到sqrt(upper)，证明如下:

假设存在一个非质数n，满足sqrt(upper) < n <= upper且它没有被程序排除，

则n可以写成n = k * t 的形式，这里k与t都是正整数，且k与t中至少有一个数小于sqrt(upper)，否则会产生n > upper的矛盾。

不失一般性，假设这个数为t，那么在之前的循环中t已经被程序检查过，这里可以分为两种情况:

1. t不是任意一个小于t的正整数的整倍数

那么在内层循环中我们对所有的t * 2， t * 3， t * 4， ……， t * k， ……做过检查，必然使得数 t * k 被排除，矛盾。

2. 存在一个小于t的最小正整数d，且t是d的整倍数

那么在程序之前的外层循环中t被检查过，d作为t的倍数被排除。对于数 k * t， 它必然也是d的整倍数，同样会被排除，矛盾。

所以程序在外层循环时只需要对所有不大于sqrt(upper)的数进行检查即可，节省了相当一部分时间。