01 背包问题

动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。
比如01背包问题。

/* 一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，
它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,
它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.
若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
输入格式：
M,N
W1,P1
W2,P2
......
输出格式：
X
*/

因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。
测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6



c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w
)+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗?

下面是实际程序:

#include<stdio.h>
int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/
int knapsack(int m,int n)
{
int i,j,w[10],p[10];
for(i=1;i<n+1;i++)
scanf("/n%d,%d",&w[i],&p[i]);
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<100;j++)
c[i][j]=0;/*初始化数组*/
for(i=1;i<n+1;i++)
for(j=1;j<m+1;j++)
{
if(w[i]<=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/
{
if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])

/*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/

/*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/
c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}
else c[i][j]=c[i-1][j];
}
return(c
[m]);

}
int main()
{
int m,n;int i,j;
scanf("%d,%d",&m,&n);
printf("Input each one:/n");
printf("%d",knapsack(m,n));
printf("/n");/*下面是测试这个数组,可删除*/
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<15;j++)
{
printf("%d ",c[i][j]);
if(j==14)printf("/n");
}
system("pause");
}

#include<iostream>
#include<fstream>

using namespace std;

void pack(int n,int c,int *weight,int *price)
{
int i,j;
fstream fin("in.txt",ios::in);
fstream fout("out.txt",ios::out);
int **F=new int *[n+1];
int *X=new int [n+1];
for(i=0;i<=n;i++)
{
F[i]=new int [c+1];
F[i][0]=0;
}
for(j=0;j<=c;j++)
F[0][j]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=0;j<=c;j++)
if(j>=weight[i])
{
if(F[i-1][j]<F[i-1][j-weight[i]]+price[i])
F[i][j]=F[i-1][j-weight[i]]+price[i];
else
F[i][j]=F[i-1][j];
}
else
F[i][j]=F[i-1][j];
fout<<"Result="<<F
[c]<<endl;

for(i=n;i>=1;i--)
if(F[i][c]!=F[i-1][c])
{
X[i]=1;
c-=weight[i];
}
else
X[i]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(X[i]!=0)
fout<<i<<"/t"<<weight[i]<<"/t"<<price[i]<<endl;
}
}
int main()
{
int n,i,c;
fstream fin("in.txt",ios::in);
fstream fout("out.txt",ios::out);
while(fin>>c>>n)
{
int *weight=new int [n+1];
int *price=new int [n+1];
for(i=1;i<=n;i++)
fin>>weight[i]>>price[i];
pack(n,c,weight,price);
}
return 0;
}

自己编写：

#include<iostream>
using namespace  std;
#define M 20
#define N 200
int m,n;   //m为容量，n为物品个数
int c[M]
;// 保存每种情况的最大价值 M为个数，N为容量
int w[M],v[M];//保存物体的重量和价值

void knapsack()
{
int i,j;
memset(c,0,sizeof(c));
for( i=1;i<=n;i++)
for( j=1;j<=m;j++)
{
if(w[i]<=j)   /*如果当前物品的容量小于背包容量*/
{
if(v[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])

/*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/

/*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/
c[i][j]=v[i]+c[i-1][j-w[i]];
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}
cout<<c
[m]<<endl;
}
int main()
{
freopen("knapsack.txt","r",stdin);
while(cin>>m>>n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i]>>v[i];

knapsack();

/*下面是测试这个数组,可删除*/
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
{
cout<<c[i][j]<<"    ";
if(j==m)
cout<<endl;
}
}
return 0;
}

测试数据：

(1)
in
100 5
77 92
22 22
29 87
50 46
99 90
out
133
(2)
in
200 8
79 83
58 14
86 54
11 79
28 72
62 52
15 48
68 62
out
334