代数系统的一些小常识

首先看看 满射（上映射）：就是说F:X->Y的的映射中，Y中任何像在X中都有原像。  强调一下Y中的任何元素都有原像，原像可以有多个

              一一映射(入射)：强调的是Y的原像是唯一的， Y的元素可以没有原像。

             双射：我是这样理解的，X,Y中都没有空闲的元素，都是一个对一个的。在一一映射的基础上加入了Y中没有空闲元素。

 

再来看 代数系统

（1）封闭的：对于一个集合A，一个从A^n到B的映射，称为集合A上的一个n元运算，如果说B属于A的话，称该n元运算时封闭的。

（2）代数系统：一个非空集合A和定义在此集合上的若个运算所组成的系统称为代数系统。

（3）广群：一个代数系统<G,*>,其中G是非空的，*是G上的二元运算且是封闭的。则称此代数系统为广群。

（4）半群：在广群的基础上如果 *是可结合的，则称为半群。

（5）群：在前面基础上，存在幺元并且每个元素x都存在逆元，则称为一个群。（群中不可能有零元，因为零元没有逆元）

（6）有限群：就是说群中G是个有限集合，G中元素的个数称为有限群的阶。

（7）子群：设,<G,*>是一个群，S是G的非空子集，如果<S,*>也构成群，则称<S,*>是<G,*>的子群。（首先他是一个群，子群相对其他群来说的）

（8）阿贝尔群（交换群）：如果群<G,*>中的运算*是可交换的，则为阿贝尔群。

（9）循环群：设群<G,*>，如果G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称此群为循环群。元素a 为循环群的生成元。（循环群必定是阿贝尔群；如果G的阶为n那么a的n次幂为幺元； 一个循环群的生成元不一定唯一）

（10）同态映射：设<A,$>和<B,*>是两个代数系统，设f是A到B的一个映射，使得对于任意的a1,a2,属于A有：

f(a1$a2)=f(a1）*f(a2)。f是<A,$>到<B,*>的一个同态映射。

把<f(A),*>称为<A,$)的一个同态像。f(A)={x|x=f(a),a属于A}属于B

(11)满同态：设f是<A,$>到<B,*>的一个同态映射，如果f是满射的话，f为满同态。如果：f是入射的话，称为单一同态。如果f是双射的话，为同构映射。

（12）自同构，自同态是11条所说的一个特殊情况，就是把第二个群换成第一个群，即两个变换群是一样的。