判断点是否处于多边形内的三种方法

1. 叉乘判别法（只适用于凸多边形）

想 象一个凸多边形，其每一个边都将整个2D屏幕划分成为左右两边，连接每一边的第一个端点和要测试的点得到一个矢量v，将两个2维矢量扩展成3维的，然后将 该边与v叉乘，判断结果3维矢量中Z分量的符号是否发生变化，进而推导出点是否处于凸多边形内外。这里要注意的是，多边形顶点究竟是左手序还是右手序，这 对具体判断方式有影响。

2. 面积判别法（只适用于凸多边形）

第四点分别与三角形的两个点组成的面积分别设为S1,S2,S3，只要S1+S2+S3>原来的三角形面积就不在三角形范围中.可以使用海伦公式 。推广一下是否可以得到面向凸多边形的算法？（不确定）

3. 角度和判别法（适用于任意多边形）

double angle = 0;
realPointList::iterator iter1 = points.begin();
for (realPointList::iterator iter2 = (iter1 + 1); iter2 < points.end(); ++iter1, ++iter2)
{
double x1 = (*iter1).x - p.x;
double y1 = (*iter1).y - p.y;
double x2 = (*iter2).x - p.x;
double y2 = (*iter2).y - p.y;
angle += angle2D(x1, y1, x2, y2);
}

if (fabs(angle - span::PI2) < 0.01) return true;
else return false;

另外，可以使用bounding box来加速。
if (p.x < (*iter)->boundingBox.left ||
p.x > (*iter)->boundingBox.right ||
p.y < (*iter)->boundingBox.bottom ||
p.y > (*iter)->boundingBox.top) 。。。。。。

对于多边形来说，计算bounding box非常的简单。只需要把水平和垂直方向上的最大最小值找出来就可以了。

对于三角形：第四点分别与三角形的两个点的交线组成的角度分别设为j1,j2,j3，只要j1+j2+j3>360就不在三角形范围中。

4. 水平/垂直交叉点数判别法（适用于任意多边形）

注意到如果从P作水平向左的射线的话，如果P在多边形内部，那么这条射线与多边形的交点必为奇数，如果P在多边形外部，则交点个数必为偶数（0也在内）。所以，我们可以顺序考虑多边形的每条边，求出交点的总个数。还有一些特殊情况要考虑。假如考虑边(P1,P2)，
1)如果射线正好穿过P1或者P2,那么这个交点会被算作2次，处理办法是如果P的从坐标与P1,P2中较小的纵坐标相同，则直接忽略这种情况
2)如果射线水平，则射线要么与其无交点，要么有无数个，这种情况也直接忽略。
3)如果射线竖直，而P0的横坐标小于P1,P2的横坐标，则必然相交。
4)再判断相交之前，先判断P是否在边(P1,P2)的上面，如果在，则直接得出结论：P再多边形内部。

4. 水平/垂直交叉点数判别法（适用于任意多边形）
详解：

1. 已知点point(x,y)和多边形Polygon（x1,y1;x2,y2;….xn,yn;）；
2. 以point为起点，以无穷远为终点作平行于X轴的直线line(x,y; -∞,y)；
3. 循环取得(for(i=0;i<n;i++))多边形的每一条边side(xi,yi;xi+1,yi+1)，且判断是否平行于X轴，如果平行continue，否则，i++；
4. 同时判断point(x,y)是否在side上，如果是，则返回1(点在多边形
上)，否则继续下面的判断；
5. 判断线side与line是否有交点，如果有则count++，否则，i++。
6. 判断交点的总数，如果为奇数则返回0（点在多边形内），偶数则返回2（点在多边形外）。
代码：
/* 射线法判断点q与多边形polygon的位置关系，要求polygon为简单多边形，顶点逆时针排列
如果点在多边形内： 返回0
如果点在多边形边上： 返回1
如果点在多边形外： 返回2
*/
const double INFINITY = 1e10;
const double ESP = 1e-5;
const int MAX_N = 1000;

struct Point {
double x, y;
};
struct LineSegment {
Point pt1, pt2;
};
typedef vector<Point> Polygon;

// 计算叉乘 |P0P1| × |P0P2|
double Multiply(Point p1, Point p2, Point p0)
{
return ( (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y) );
}
// 判断线段是否包含点point
bool IsOnline(Point point, LineSegment line)
{
return( ( fabs(Multiply(line.pt1, line.pt2, point)) < ESP ) &&
( ( point.x - line.pt1.x ) * ( point.x - line.pt2.x ) <= 0 ) &&
( ( point.y - line.pt1.y ) * ( point.y - line.pt2.y ) <= 0 ) );
}
// 判断线段相交
bool Intersect(LineSegment L1, LineSegment L2)
{
return( (max(L1.pt1.x, L1.pt2.x) >= min(L2.pt1.x, L2.pt2.x)) &&
(max(L2.pt1.x, L2.pt2.x) >= min(L1.pt1.x, L1.pt2.x)) &&
(max(L1.pt1.y, L1.pt2.y) >= min(L2.pt1.y, L2.pt2.y)) &&
(max(L2.pt1.y, L2.pt2.y) >= min(L1.pt1.y, L1.pt2.y)) &&
(Multiply(L2.pt1, L1.pt2, L1.pt1) * Multiply(L1.pt2, L2.pt2, L1.pt1) >= 0) &&
(Multiply(L1.pt1, L2.pt2, L2.pt1) * Multiply(L2.pt2, L1.pt2, L2.pt1) >= 0)
);
}
// 判断点在多边形内
bool InPolygon(const Polygon& polygon, Point point)
{
int n = polygon.size();
int count = 0;
LineSegment line;
line.pt1 = point;
line.pt2.y = point.y;
line.pt2.x = - INFINITY;

for( int i = 0; i < n; i++ ) {
// 得到多边形的一条边
LineSegment side;
side.pt1 = polygon[i];
side.pt2 = polygon[(i + 1) % n];

if( IsOnline(point, side) ) {
return1 ;
}

// 如果side平行x轴则不作考虑
if( fabs(side.pt1.y - side.pt2.y) < ESP ) {
continue;
}

if( IsOnline(side.pt1, line) ) {
if( side.pt1.y > side.pt2.y ) count++;
} else if( IsOnline(side.pt2, line) ) {
if( side.pt2.y > side.pt1.y ) count++;
} else if( Intersect(line, side) ) {
count++;
}
}

if ( count % 2 == 1 ) {return 0;}
else { return 2;}
}
}