整数划分问题及其算法

整数划分问题及其算法

一、问题描述

整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式，且这组数中的最大加数不大于n。
如整数的6划分为:
6
5 + 1
4 + 2, 4 + 1 + 1
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1共11种。

二、算法描述

下面通过递归方法得到一个正整数的划分数。
递归函数的声明为 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数，m是划分中的最大加数(当m > n时，最大加数为n)，

Ⅰ.当n = 1或m = 1时，split的值为1，可根据上例看出，只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;

Ⅱ.下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系
(1) m > n

在整数划分中实际上最大加数不能大于n，因此在这种情况可以等价为split(n, n);
可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);
(2) m = n
这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1，从以上例子中可以看出，就是最大加数为6和小于6的划分之和
可用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
(3) m < n
这是最一般的情况，在划分的大多数时都是这种情况。从上例可以看出，设m = 4，那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
可用程序表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)

三、程序语言实现

因为算法是程序的核心部分，而算法是一致的，所以下面的程序思路一致，大同小异，只是形式不一而已。

1.Java实现：

package kane.csdn;

public class InteDevide {

public static void main(String[] args) {

if (args.length == 0) {

System.out.println("你没有输入任何参数，请返回后输入两个正整数参数!");

return;

}

if (args.length != 2) {

System.out.println("你输入的参数个数不正确，请返回后输入两个正整数参数!");

return;

}

int x = Integer.parseInt(args[0]);

int y = Integer.parseInt(args[1]);

if (x < 1 || y < 1) {

System.out.println("你输入的参数中有非正整数，请返回后重新输入!");

return;

}

Devide d1 = new Devide();

System.out.println("对于你输入的参数，求得的整数划分问题的解的个数为:" + d1.devide(x, y));

}

}

// 定义整数划分算法的函数的类

class Devide {

int devide(int a, int b) {

if (a == 1 || b == 1)

return 1;

if (a < b)

return devide(a, a);

if (a == b)

return devide(a, b - 1) + 1;

return devide(a, b - 1) + devide(a - b, b);

}

}

2.C++实现：

#include <stdio.h>

int split(int n, int m) {
if(n < 1 || m < 1) return 0;
if(n == 1 || m == 1) return 1;
if(n < m) return split(n, n);
if(n == m) return (split(n, m - 1) + 1);
if(n > m) return (split(n, m - 1) + split((n - m), m));
}
int main(){
printf("12的划分数: %d", split(12, 12));
return 0;
}

C++实现的比较潦草，没有让用户输入数据，没有一般交互性，不过可以自己再改正一下！

就递归方式而言，最大的不好之处就是递归次数太多，做了太多的冗余计算。
(N,M) 所需时间（ms）
100,100 250
120,120 1281.3
140,140 6297
160,160 27484.7
180,180 110844.5
200,200 398417.4
相对而言，动态规划效率要高很多，不是一个数量级的,篇在介绍啊!