关于平衡二叉树(AVL tree)旋转后平衡标志调整的计算公式

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标题: 关于平衡二叉树(AVL tree)旋转后平衡标志调整的计算公式
作者: 叶飞虎
建立: 2009.10.18
变更: 2010.06.22
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1. 引言
平衡二叉树的平衡标志计算可以说是最简单的, 也可以说是AVL树中最难的。平衡标
志计算方法有两种：
a. Balance = Height(Left) - Height(Right);
b. Balance = Height(Right) - Height(Left);
其中 Height 为结点的子树高度(>= 0), 算法简单就是说只要左右子树高度相减即可,
但运行效率不高。当结点数上千以上时, 频繁增删结点带来开销会相当可观, 正因如此,
本人通过推理得到的计算公式就非常重要了。

2. 假设
a. 结点定义
typedef struct TAVLNode
{
void* Item; // 存放项
TAVLNode* Left; // 左子结点
TAVLNode* Right; // 右子结点
TAVLNode* Parent; // 父结点
char Balance; // 平衡标志: [-1..1]
} *PAVLNode;
b. 平衡增量 D 和 D', D 为左子树增量, D' 为右子树增量, 且 D = -D', D 可以定义
为 1 或 -1, 其中:
1). D = 1 则表示平衡标志计算方法为: Height(Left) - Height(Right)
2). D = -1 则表示平衡标志计算方法为: Height(Right) - Height(Left)
c. 结点高度的函数 H, 则结点 n 有:
H(n) = M(H(n.Left), H(n.Right)) + D, 同时 H(NULL) = 0
其中, M(H(n.Left), H(n.Right) 函数描述如下:
1). |H(n.Left)| >= |H(n.Right)| 则值为: H(n.Left)
2). |H(n.Left)| < |H(n.Right)| 则值为: H(n.Right)
d. 结点平衡标志的函数 B, 则结点 n 有:
B(n) = n.Balance = H(n.Left) - H(n.Right)

3. 旋转方式(Left-Left)
a. 旋转前的树结构和函数方程如下:
(p) B(p) = H(t) - H(1) = 2D
/ \
(t) (1) B(t) = H(n) - H(2)
/ \
(n) (2) B(n) = H(3) - H(4)
/ \
(3) (4) 同时必定存在: B(t) != D', 可以用反证法证明.
b. 旋转后的树结构和函数方程如下: (注: 结点 p, t, n 旋转后分别定义为 P, T, N)
( T ) B(T) = H(N) - H(P)
/ \ B(N) = H(3) - H(4)
(N) (P) B(P) = H(2) - H(1)
/ \ / \
(3) (4) (2)(1) 同时必定存在: B(P) != D', 可以用反证法证明.
c. B(N) 公式
B(N) = H(3) - H(4) \
B(n) = H(3) - H(4) / => B(N) = B(n) = n.Balance
d. B(P) 公式
B(t) = H(n) - H(2) => H(2) = H(n) - B(t) -+
B(p) = H(t) - H(1) = 2D => H(1) = H(t) - 2D +
B(P) = H(2) - H(1) -+
=> B(P) = H(n) - H(t) - B(t) + 2D \
由于必定: B(t) != D' => H(t) = H(n) + D /
=> B(P) = D - B(t) = D - t.Balance
e. B(T) 公式
B(t) = H(n) - H(2) => H(n) = B(t) + H(2) -+
由于必定: H(N) == H(n) => B(T) = H(n) - H(P) +
由于必定: B(P) != D' => H(P) = H(2) + D -+
=> B(T) = B(t) + H(2) - (H(2) + D)
=> B(T) = B(t) - D = t.Balance - D
f. H(T) - H(p) 公式 (即调整后的高度变化)
B(T) = B(t) - D => B(T) != D
=> H(T) = H(P) + D -+
H(P) = / H(1) + 2D 当 B(P) == D +
\ H(1) + D 当 B(P) == 0 -+
=> H(T) = / H(1) + 3D 当 B(P) == D -+
\ H(1) + 2D 当 B(P) == 0 |
+ =>
H(p) = H(t) + D \ |
H(t) = H(1) + 2D / => H(p) = H(1) + 3D -+
H(T) - H(p) = / 0 当 B(P) == D => B(t) == 0
\ -D 当 B(P) == 0 => B(t) != 0

4. 旋转方式(Left-Right)
a. 旋转前的树结构和函数方程如下:
(p) B(p) = H(t) - H(1) = 2D
/ \
(t) (1) B(t) = H(2) - H(n)
/ \
(2) (n) B(n) = H(3) - H(4)
/ \
(3) (4) 同时必定存在: B(t) != D, 可以用反证法证明.
b. 旋转后的树结构和函数方程如下: (注: 结点 p, t, n 旋转后分别定义为 P, T, N)
( N ) B(N) = H(T) - H(P)
/ \ B(T) = H(2) - H(3)
(T) (P) B(P) = H(4) - H(1)
/ \ / \
(2) (3) (4)(1) 同时必定存在: B(P) != D, 可以用反证法证明.
c. B(T) 公式
H(n) = / H(3) + 2D 当 B(n) == D'
\ H(3) + D 当 B(n) != D' -+
|
B(t) = H(2) - H(n) => H(2) = H(n) + B(t) \ +
B(T) = H(2) - H(3) / |
=> B(T) = H(n) - H(3) + B(t) -+
=> B(T) = / B(t) + 2D 当 B(n) == D'
\ B(t) + D 当 B(n) != D'
=> B(T) = / t.Balance + 2D 当 B(n) == D'
\ t.Balance + D 当 B(n) != D'
d. B(P) 公式
H(n) = / H(4) + 2D 当 B(n) == D
\ H(4) + D 当 B(n) != D -+
|
由于必定: B(t) != D => H(t) = H(n) + D \ +
B(p) = H(t) - H(1) = 2D => H(1) = H(t) - 2D / |
=> H(1) = H(n) - D -+
=> H(1) = / H(4) + D 当 B(n) == D
\ H(4) 当 B(n) != D -+
+
B(P) = H(4) - H(1) -+
=> B(P) = / D' 当 B(n) == D
\ 0 当 B(n) != D
e. B(N) 公式
+- 2D 当 B(T) == 2D -+
定义 X(T) = + D 当 B(T) == D |
+- 0 当 B(T) == 0 |
=> X(T) = B(T) + => H(T) = H(3) + B(T) + D -+
+- H(3) + 3D 当 B(T) == 2D | |
H(T) = + H(3) + 2D 当 B(T) == D | |
+- H(3) + D 当 B(T) == 0 -+ |
B(N) = H(T) - H(P) +
定义 X(P) = / D 当 B(P) == D' -+ |
\ 0 当 B(P) == 0 | |
=> X(P) = -B(P) + => H(P) = H(4) - B(P) + D -+
H(P) = / H(4) + 2D 当 B(P) == D' |
\ H(4) + D 当 B(P) == 0 -+
=> B(N) = H(3) - H(4) + (B(T) + B(P)) \
B(n) = H(3) - H(4) /
=> B(N) = B(n) + B(T) + B(P)
= n.Balance + B(T) + B(P)
f. H(N) - H(p) 公式 (即调整后的高度变化)
由于 B(T) in {0, D, 2D} => H(T) = H(2) + D
若 B(n) != D' => B(N) = B(T) => H(N) = H(T) + D = H(2) + 2D -+
若 B(n) == D' => B(P) = 0 -+ |
B(T) = B(t) + 2D + |
B(N) = B(n) + B(T) + B(P) -+ +
|
=> B(N) = B(t) + D => H(N) = H(T) + D |
= H(2) + 2D -+
=> H(N) = H(2) + 2D -+
H(p) = / H(2) + 2D 当 B(t) == 0 + =>
\ H(2) + 3D 当 B(t) != 0 -+
H(N) - H(p) = / 0 当 B(t) == 0
\ -D 当 B(t) != 0

5. 旋转方式(Right-Left)
a. 旋转前的树结构和函数方程如下:
注: 因旋转方式与 (Left-Right) 左右对称, 所以推理方法相同, 故省略推理过程
(p) B(p) = H(1) - H(t) = 2D'
/ \
(1) (t) B(t) = H(n) - H(2)
/ \
(n) (2) B(n) = H(3) - H(4)
/ \
(3) (4) 同时必定存在: B(t) != D', 可以用反证法证明.
b. 旋转后的树结构和函数方程如下: (注: 结点 p, t, n 旋转后分别定义为 P, T, N)
( N ) B(N) = H(T) - H(P)
/ \ B(P) = H(1) - H(3)
(P) (T) B(T) = H(4) - H(2)
/ \ / \
(1) (3) (4)(2) 同时必定存在: B(P) != D', 可以用反证法证明.
c. B(T) 公式
B(T) = / t.Balance + 2D'当 B(n) == D
\ t.Balance + D' 当 B(n) != D
d. B(P) 公式
B(P) = / D 当 B(n) == D'
\ 0 当 B(n) != D'
e. B(N) 公式
B(N) = n.Balance + B(P) + B(T)
f. H(N) - H(p) 公式 (即调整后的高度变化)
H(N) - H(p) = / 0 当 B(t) == 0
\ -D 当 B(t) != 0

6. 旋转方式(Right-Right)
a. 旋转前的树结构和函数方程如下:
注: 因旋转方式与 (Left-Left) 左右对称, 所以推理方法相同, 故省略推理过程
(p) B(p) = H(1) - H(t) = 2D'
/ \
(1) (t) B(t) = H(2) - H(n)
/ \
(2) (n) B(n) = H(3) - H(4)
/ \
(3) (4) 同时必定存在: B(t) != D, 可以用反证法证明.
b. 旋转后的树结构和函数方程如下: (注: 结点 p, t, n 旋转后分别定义为 P, T, N)
( T ) B(T) = H(P) - H(N)
/ \ B(P) = H(1) - H(2)
(P) (N) B(N) = H(3) - H(4)
/ \ / \
(1) (2) (3)(4) 同时必定存在: B(P) != D, 可以用反证法证明.
c. B(N) 公式
B(N) = B(n) = n.Balance
d. B(P) 公式
B(P) = D' - B(t) = D' - t.Balance
e. B(T) 公式
B(T) = B(t) - D' = t.Balance - D'
f. H(T) - H(p) 公式 (即调整后的高度变化)
B(T) = B(t) - D' => B(T) != D'
=> H(T) = H(P) + D -+
H(P) = / H(1) + 2D 当 B(P) == D' +
\ H(1) + D 当 B(P) == 0 -+
=> H(T) = / H(1) + 3D 当 B(P) == D' -+
\ H(1) + 2D 当 B(P) == 0 |
+ =>
H(p) = H(t) + D \ |
H(t) = H(1) + 2D / => H(p) = H(1) + 3D -+
H(T) - H(p) = / 0 当 B(P) == D'=> B(t) == 0
\ -D 当 B(P) == 0 => B(t) != 0

7. 增/删结点的要点分析
a. 插入结点
插入结点沿着根结点向上增加平衡值, 若检测到 p 为 2D 或 2D' 时, 只要使用 LL,
LR, RL, 或 RR 中的一种旋转调整平衡值, 且只要需要一次即可并中止向上增加平衡值.
b. 删除结点
1). 由于 LR 旋转, 若 B(t) == 0 且 B(n) == D' 时, 则存在 B(T) = 2D 即失去平
衡, 所以在删除结点若遇到 B(t) == 0 时就改为 LL 旋转即可避开 B(T) = 2D;
2). 由于 RL 旋转, 若 B(t) == 0 且 B(n) == D 时, 则存在 B(T) = 2D' 即失去平
衡, 所以在删除结点若遇到 B(t) == 0 时就改为 RR 旋转即可避开 B(T) = 2D';
3). 删除结点沿着根结点向上减去平衡值, 若检测到 p 为 2D 或 2D' 时, 只要使用
LL, LR, RL, 或 RR 中的一种旋转调整平衡值, 当 B(t) == 0 时中止向上减去平
衡值, 否则必须向上减去平衡值.