[题解]编程设有一个n*m方格的棋盘（1<=m,n<=100)，求该棋盘包含多少正方形，长方形？

题目：
编程设有一个n*m方格的棋盘（1<=m,n<=100)求该棋盘包含多少正方形，长方形。
（1997年第三届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛普及组复赛试题）

网上已经有一些文章和程序来说明和解决这个问题了，我这里就是在阅读了大量的文章后的一些思考，觉得在表述上可以作为补充。

解答：

正方形和长方形都有“长”和“宽”，因此可以从这里入手，先看“长”可取的总数，再看“宽”的总数（注意正方形和长方形关于“长”和“宽”的限制条件），最后用乘方原理和加法原理得出总数就可以了。

在这里，可以注意到，无论是长方形和正方形的数量有多少，它们的和应该容易求出，这就是n*m的所有“长”的可能数*“宽”的可能数之和，即就是：当“长”和“宽”都取1时，可能数为n*m个；当“长”取１,“宽”取２时，可能数为n*(m-1)[“宽”值取２的情况共有m-1种]；以此类推，……，当“长”取１,“宽”取m时，可能数为n*1。因此，可以看出当“长”取１时，总数为n * (m + m-1 + ... + 1)=n * [m*(m-1)]/2。而“长”取值的可能也分别为1~n，因此所有方形（正方形+长方形）的总数为[m*(m+1)/2]*[n*(n+1)/2]。

可以开始考试计算正方形和长方形的数量了。由于正方形对于“长”和“宽”的限制更为严格，要求相等，因此思路就产生了，首先计算出正方形的数量，然后使用上面得出的总数减去正方形的数量，剩下的就是长方形的数量了。

对于正方形数量的计算，可以采用如上同样的思路，这里就不再详细描述了，结果正方形的数量应为：（假设m>n) m*n+(m-1)*(n-1)+...+(m-n+1)*1。这样，问题就已经求解出来了。

当然，对于某些想寻根问底的朋友， 可能想知道如果直接计算长方形的数量，是怎样计算的？其实思路还是一样的，只是因为限制条件变化了，因而可能得借助列举才能更清楚。你可以按照上面的思路，把“长”和“宽”的情况都展开放到表里面，然后把总数写在横列交叉处，如下图：


图1 在n*m表格上列出公式规律[3]

[align=left]则可以得出当a（即“长”）取值为1时，长方形的总数为：n * [ m * (m-1) ] / 2
[/align]当a取值为2时，长方形的总数为：(n-1) * [ m * (m-1) / 2 + 1 ]

以此类推，当a取值为n时，长方形的总数为：1 * [ m * (m-1) / 2 + (n-1) ]

这样就可以理解a从1变化到n时，长方形每次累加的值为：(n-a+1)*[m*(m-1)/2+b-1]

这里尤其要注意一点，变量b存在的必要性。可用如下一张图来描述：


图2 当n=30 / m=20时，长方形的总数情况(By Microsoft Excel)

可以看到，当m小于n时，变量b的值应当不发生变化，而变量a的值还要一直变化到n，反之亦如此。这样，我们就可以编写程序如下：

1 #include <stdio.h>
2
3 int main()
4 {
5 int n, m, s, t;
6 s=0, t=0;
7 scanf("%d %d", &n, &m);
8 int a = 1;
9 int b = 1;
int c = (m*(m-1)) >> 1;
while(a <= n)
{
if(a == b)
{
s = s + (n-a+1) * (m-b+1);
}
t = t + (n-a+1)*(c+b-1);
if(a <= n)
{
a ++;
}
if(b <= m)
{
b ++;
}
}
printf("%d %d", s, t);
return 0;
}
需要注意的是其中循环变量a与b的变化。在循环中，也对正方形的数量进行了求解。

此程序我认为其优点是相对简单，数学运算公式比较清楚，参考[2]中的算法我始终还是有点不明白，因此就我想到的这个写下来了，仅供参考，欢迎讨论！

最后，感谢网友提供的如下资料，能够使我解决了这个问题，从而对此类问题有了更清醒的认识，谢谢！

[1] 百度百科：http://zhidao.baidu.com/question/85045813.html?fr=qrl

[2] QQ空间：http://qzone.qq.com/blog/82314038-1211596276

[3] 程序员联员开发网：第一次实验报告 http://www.pudn.com/downloads37/sourcecode/windows/other/detail123530.html