从二进制补码到十进制补码及其内的运算——关于补码的一点学习

问题：输入两个整数a,b，-10100<a, b < 10100,　编程计算a-b。
这是个非常简单的题目，因为a,b可能为正可能为负，所以有a-b, a-(-b), -a-b,
-a-(-b)这四种情况。去括号后有a-b,
-(a-b), a+b, -(a+b)，其中共两种情况。写代码的话仍然比较烦。想到二进制的补码运算可以把减法变成加法从而统一加减运算，于是考虑实现十进制的补码运算。十进制的补码运算以及各种进制的运算（做这个题目时查看TAOCP第二卷时学到了关于任意进制的一些东西，包括b进制和bk进制的转换，尤其是-10进制，sqrt(2)进制等等，非常有趣，附在后面）在网上资料非常多，这里只是记下自己做这个题目的过程，备忘。
二进制的补码运算是非常熟悉的了。(X+Y)补＝X补+Y补，(X-Y)补＝X补+(-Y)补，这是补码能统一加减运算的公式，对于十进制也是一样。对于任何进制的补码，都有公式：
[X]补=M+X(MOD M)
有了这些，将补码应用于十进制就非常简单。自己当时有些偏执，一定想找两个数放在符号位上，替代二进制中0正1负的作用。因为二进制中，0表示什么都没有，1表示再放一个就会溢出，所以十进制中，用0取代二进制中的0，放在符号位上表示正，用9取代二进制中的1，放在符号位上表示负(其实自己把问题弄复杂了，大可不必如此)。这样，包括符号位在内的n个十进制位补码能表示的范围是[-10n-1, 10n-1-1]总共10n个数。例如，计算-46-37这个式子：-46的原码就是946，补码按位取反末位加1，得到954，-37的原码为937，补码为963，补码相加得(-46)补+(-37)补＝954+963=1917，符号位进位舍掉，得到结果是917，917的再按位取反末位加1得原码983，它表示的真值是-83，所以有-46-37=-83。
以上如果想计算-99-99就会溢出，如此必须用四位十进制位表示。但一个字节对计算机来说九牛一毛，所以到这里直接就写程序了。代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
char a[128], b[128], ta[128], tb[128];
int main() {
int i, j;
scanf("%s%s", a,b);
if(*a == '-') {
ta[103] = 9;
for(i = 0, j = strlen(a) - 1; j >= 1; i++, j--)
ta[i] = 9 - (a[j] - '0');
while(i <= 102) { ta[i] = 9; i++; }
ta[0] += 1;
} else {
ta[103] = 0;
for(i = 0, j = strlen(a) - 1; j >= 0; i++, j--)
ta[i] = a[j] - '0';
}
if(*b == '-') {
tb[103] = 0;
for(i = 0, j = strlen(b) - 1; j >= 1; i++, j--)
tb[i] = b[j] - '0';
} else {
tb[103] = 9;
for(i = 0, j = strlen(b) - 1; j >= 0; i++, j--)
tb[i] = 9 - (b[j] - '0');
while(i <= 102) { tb[i] = 9; i++; }
tb[0] += 1;
}
for(i = 0; i <= 103; i++) {
tb[i] += ta[i];
tb[i + 1] += tb[i] / 10;
tb[i] %= 10;
}
// print
if(tb[103] == 0) {
for(i = 102; tb[i] == 0; i--);
while(i >= 0) { putchar(tb[i] + '0'); i--; }
putchar('/n');
} else {
for(i = 0; i <= 102; i++)
tb[i] = 9 - tb[i];
tb[0] += 1;
for(i = 0; tb[i] >= 10; i++) {
tb[i+1] += tb[i] / 10;
tb[i] %= 10;
}
putchar('-');
for(i = 102; tb[i] == 0; i--);
while(i >= 0) { putchar(tb[i] + '0'); i--; }
putchar('/n');
}
return 0;
}

这段代码只是为了AC。
现在小结一下。二进制补码定义形式非常漂亮，因为它具有对称性。在二进制里面，很多的东西都是“恰好如此”。恰好二进制只有0、1两个数，恰好只有正负两种状态，恰好2n+2n=2n+1……。在补码的对应规则下，n个数位能表示的数的个数还是那么多，只不过把其中的一半的正数的形式让给了负数。在这个意义下再看十进制的补码，如果是n位十进制数，它能表示10n个十进制数字串，如果使用补码，它必须分一半出来用于表示负数，所以它只能表示0.5 * 10n　＝　5 * 10n-1个正数。另外的一半就是负的了。我们常说的在补码表示中“符号位参与运算”这个优点，其实并没有什么，只不过权值最高的数位恰好同时能够表示一个数的正负而已，它本来就是应该而且必须参与到运算中去的。
模仿二进制补码的形式定义十进制的补码如下：对于定点整数n+1位的十进制定点整数X=XnXn-1…X0，其补码为：
[X]补＝X，　如果0 <= X <=
5 * 10n-1，
[X]补＝10n+1 + X = 10n+1 - | X |，如果 -5 * 10n <= X
<= -1
当最高位Xn为0，1，2，3，4时，表示正，为5，6，7，8，9时，表示负。例如三位十进制数补码能表示-500到499这1000个数。例如下列计算：
-327+164: -327的补码是673，-327à673, +164à164,
-327+164à673+164=837, 837是负数，并且它是补码形式，它的绝对值的真值是163.所以-327+164=-163。
当运算结果的绝对值大于500时，会发生溢出。可以使用类似计算机组成原理中的双符号位检测是上溢还是下溢，但通常没有必要，不如把多出来的符号位用来参加计算，使得能够表示的数的范围扩大十倍，以前的溢出自然就没有了。
下面是读到Knuth的TAOCP第二卷的这一节时了解到的其它十分有趣的知识。自己只是走马观花看了一下，把记下来的记在这里：一，b进制和bk进制的互相转换非常简单，看2进制和8进制、16进制的互相转换就明白了。二，-10进制和-2进制是被发现非常有意思的。-2进制似乎也得到了应用。其它比如sqrt(2)i进制等等，非常神奇。这些进制的定义和其它进制一样，只不过每个数位上的权不一样了。例如，要把126这个十进制数转变成-10进制，还是那样除基取余的方法即可，126 / (-10) = -12……6,
-12 / (-10) = 2……8，所以十进制的126在-10进制下的表示是286.可以验算一下，2 * (-10)2 + 8 *
(-10)1 + 6 = 126.不过-10进制数的运算规则自己还没学会。
关于原码转变成补码的方法，在网上都能找到证明。